Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x−2)2(x2−2x−24)x2−4x−5≤0\frac{(x-2)^2(x^2-2x-24)}{x^2-4x-5} \leq 0
eşitsizliği veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı ka��tır?

  1. A
    -3
  2. -1Cevap
  3. C
    3
  4. D
    9
  5. E
    13

Cevap

Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı −1-1 de��erine eşittir.
Doğru yanıt −1-1 değeridir. Eşitsizliğin çözüm kümesi [−4,−1)∪(5,6]∪{2}[-4, -1) \cup (5, 6] \cup \{2\} olarak elde edilir. Bu kümede yer alan tam sayılar −4,−3,−2,2-4, -3, -2, 2 ve 66 olup, bu sayıların toplamı −1-1 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadelerin kökleri bulunur ve köklerin tek/çift katlı olma durumları belirlenir.
Payın kökleri: (x−2)2=0⇒x=2(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 (çift katlı kök) ve x2−2x−24=(x−6)(x+4)=0⇒x=6,x=−4x^2-2x-24 = (x-6)(x+4) = 0 \Rightarrow x = 6, x = -4 (tek katlı kökler). Paydanın kökleri: x2−4x−5=(x−5)(x+1)=0⇒x=5,x=−1x^2-4x-5 = (x-5)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 5, x = -1 (tek katlı kökler).
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturulurken tüm sınır değerlerin (köklerin) doğru belirlenmesi gerekir.
2
Kökler küçükten büyüğe doğru sıralanarak işaret inceleme tablosu hazırlanır.
Köklerin sıralaması: −4<−1<2<5<6-4 < -1 < 2 < 5 < 6 şeklindedir.
İşaret tablosunda aralıkların sayı doğrusuna uygun sırada yer alması zorunludur.
3
Eşitsizliğin en sağ bölgesindeki başlangıç işareti belirlenir.
Paydaki (x−2)2(x-2)^2 teriminin başkatsayısı pozitif (+), x2−2x−24x^2-2x-24 teriminin başkatsayısı pozitif (+), paydadaki x2−4x−5x^2-4x-5 teriminin başkatsayısı pozitiftir (+). Bu işaretlerin çarpım ve bölümü pozitif (+) olduğundan, tablonun en sağından (6'dan büyük değerler için) (+) işareti ile başlanır.
En yüksek dereceli terimlerin katsayıları tablonun başlangıç işaretini tayin eder.
4
Sağdan sola doğru kök geçişlerinde işaretler belirlenir ve payda kökleri ile eşitlik durumu incelenir.
Kök geçişleri şu şekildedir: (6,∞)(6, \infty) aralığında (+); tek katlı kök x=6x=6 geçildiğinde [5,6][5, 6] aralığında (-); tek katlı payda kökü x=5x=5 geçildiğinde (2,5)(2, 5) aralığında (+); çift katlı kök x=2x=2 geçildiğinde işaret değişmez ve (−1,2](-1, 2] aralığında (+); tek katlı payda kökü x=−1x=-1 geçildiğinde [−4,−1)[-4, -1) aralığında (-); tek katlı kök x=−4x=-4 geçildiğinde (−∞,−4)(-\infty, -4) aralığında (+) olur.
Çift katlı köklerde işaret değişmezken, tek katlı köklerde işaret yön değiştirir. Payda kökleri tanımsızlık yarattığı için çözüm kümesine dahil edilemez.
5
Küçük veya eşit sıfır (≤0\leq 0) koşulunu sağlayan en geniş çözüm kümesi yazılır.
Çözüm kümesi: S=[−4,−1)∪(5,6]∪{2}S = [-4, -1) \cup (5, 6] \cup \{2\} olarak bulunur.
Sıfıra eşit veya negatif olan aralıklar ile payı sıfır yapan ancak paydayı sıfır yapmayan köklerin birleşimi alınır.
6
Çözüm kümesindeki tam sayılar belirlenerek toplanır.
[−4,−1)[-4, -1) aralığındaki tam sayılar: −4,−3,−2-4, -3, -2.
(5,6](5, 6] aralığındaki tam sayı: 66.
Tekil çözüm noktası: 22.
Bu değerlerin toplamı: (−4)+(−3)+(−2)+2+6=−1(-4) + (-3) + (-2) + 2 + 6 = -1 bulunur.
Soru kökünde istenen farklı tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için bu işlemler gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden rasyonel eşitsizliklerin çözümünde kök analizi, çift katlı kök davranışı, payda köklerinin tanımsızlık durumu ve işaret tablosunun oluşturulması.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi