Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (a_n) geometrik dizisinde, a_5 - a_1 = 30 a_4 + a_2 = 20\neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, bu dizinin 6. terimi kaçtır?

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (a_n) geometrik dizisinde, a_5 - a_1 = 30 a… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir

(a_n)

geometrik dizisinde,

a_5 - a_1 = 30

a_4 + a_2 = 20

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi kaçtır?

Cevap: 64

Dizinin 6. terimi 64 olarak bulunur.

Verilen geometrik dizi denklemleri ortak paranteze alınıp birbirine oranlandığında ortak çarpan

r = 2

ve ilk terim

a_1 = 2

olarak elde edilir. Bu değerlerle dizinin 6. terimi

a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 32 = 64

olarak bulunur.

Geometrik dizinin terimlerini ilk terim

a_1

ve ortak çarpan

r

cinsinden yazma

a_5 = a_1 r^4

a_4 = a_1 r^3

a_2 = a_1 r

Tüm terimleri aynı değişkenler türünden ifade ederek ortak çarpanı ve ilk terimi bulmayı kolaylaştırmak amacıyla bu dönüşüm yapılır.

Terimleri denklemlerde yerine koyup ortak paranteze alarak oranlama

a_1(r^4 - 1) = 30

a_1 r(r^2 + 1) = 20

ifadeleri oranlandığında

\frac{r^2 - 1}{r} = \frac{3}{2}

elde edilir. Buradan

2r^2 - 3r - 2 = 0

denkleminin pozitif kökü

r = 2

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini sadeleştirerek tek değişkenli bir denkleme indirgemek ve pozitif terimli dizi koşuluna uygun olan pozitif

r

değerini belirlemek için bu işlem gerçekleştirilir.

Ortak çarpan

r = 2

değerini kullanarak ilk terim

a_1

'i bulma

a_1 \cdot 2 \cdot (2^2 + 1) = 20 \implies 10a_1 = 20 \implies a_1 = 2

Elde edilen ortak çarpan değerini ikinci denklemde yerine yazarak dizinin başlangıç terimini hesaplarız.

Geometrik dizinin genel terim formülü yardımıyla 6. terimi hesaplama

a_6 = a_1 r^5 = 2 \cdot 2^5 = 64

Genel terim formülü olan

a_n = a_1 r^{n-1}

bağıntısında

n = 6

yazılarak istenen terimin değerine ulaşılır.

Geometrik dizinin genel terim formülü ve terimler arası cebirsel ilişkiler