Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Gerçek sayılar kümesinin belirli alt kümelerinde tanımlı

f(x)=x2−4x+3x−3f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 3}

ve

g(x)={x−1,x≠35,x=3g(x) = \begin{cases} x - 1, & x \neq 3 \\ 5, & x = 3 \end{cases}

fonksiyonları veriliyor.

Buna göre,

I. lim⁡x→3f(x)=lim⁡x→3g(x)\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} g(x) eşitliği sağlanır.

II. ff fonksiyonu x=3x = 3 noktasında süreklidir.

III. gg fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde süreklidir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. Yalnız ICevap
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

Yalnız I
Doğru cevap 'Yalnız I' seçeneğidir. Çünkü f ve g fonksiyonlarının her ikisinin de x = 3 noktasındaki limiti 2'ye eşittir. Ancak f fonksiyonu x = 3'te tanımsız olduğundan, g fonksiyonu ise x = 3'teki limit değeri ile fonksiyon değeri birbirine eşit olmadığından sürekli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Her iki fonksiyonun x = 3 noktasındaki limitlerini belirleyin.
f(x) fonksiyonu x ≠ 3 için x - 1 olarak sadeleşir, bu yüzden limiti 2'dir. g(x) fonksiyonu x ≠ 3 için x - 1 kuralına sahip olduğundan onun da limiti 2'dir. Dolayısıyla limitler eşittir ve I. öncül doğrudur.
Limit varlığını ve eşitliğini doğrulamak için x değerinin 3'e sağdan ve soldan yaklaşırken aldığı değerleri analiz etmek gerekir.
2
f fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sürekliliğini kontrol edin.
f(3) ifadesi tanımsızdır çünkü payda sıfır olmaktadır.
Sürekliliğin ilk şartı fonksiyonun o noktada tanımlı olmasıdır. f(3) tanımlı olmadığından f fonksiyonu x = 3 noktasında sürekli olamaz. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
3
g fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sürekliliğini kontrol edin.
g(3) = 5 iken limit değeri 2'dir. Limit değeri ile fonksiyon değeri eşit değildir.
Süreklilik için limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. 2 ≠ 5 olduğundan g fonksiyonu sürekli değildir. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru