Sürtünmelerin ihmal edildiği yatay düzlemde, maksimum genlik noktasından serbest bırakılar… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürtünmelerin ihmal edildiği yatay düzlemde, maksimum genlik noktasından serbest bırakılarak basit harmonik hareket yapmaya başlayan bir cismin periyodu $T$ dir. Buna göre, cismin harekete başladığı andan itibaren ge��en bazı sürelerdeki ivme büyüklüklerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

1 $t_3 = \frac{T}{6}$ anındaki ivme büyüklüğü ( $a_3$ )
2 $t_2 = \frac{T}{8}$ anındaki ivme büyüklüğü ( $a_2$ )
3 $t_1 = \frac{T}{12}$ anındaki ivme büyüklüğü ( $a_1$ )

Cevap

İvme büyüklüklerinin küçükten büyüğe doğru sıralaması

a_3 < a_2 < a_1

şeklindedir.

Maksimum genlikten serbest bırakılan cisim denge konumuna doğru hareket ettikçe uzanımı azalır. İvme büyüklüğü uzanımla doğru orantılı olduğundan, zaman ilerledikçe (

t_1

'den

t_3

'e doğru) ivme büyüklüğü de azalır. Dolayısıyla en küçük ivme en son ana karşılık gelen değerdir.

Adım Adım Çözüm

Cismin başlangıç koşullarına göre uzanım fonksiyonunu yazma.

Cisim maksimum genlikten (

x = A

) serbest bırakıldığı için uzanım denklemi

x(t) = A \cos(\omega t)

olur. Burada

\omega = \frac{2\pi}{T}

açısal frekanstır.

Zamana bağlı konum ve dolayısıyla ivme değişimini analiz etmek amacıyla başlangıç fazına uygun fonksiyon seçilmiştir.

Belirtilen zamanlardaki faz açılarını hesaplama.

t_1 = \frac{T}{12}

için

\omega t_1 = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{12} = \frac{\pi}{6}

radyan (

30^\circ

);

t_2 = \frac{T}{8}

için

\omega t_2 = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4}

radyan (

45^\circ

);

t_3 = \frac{T}{6}

için

\omega t_3 = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{T}{6} = \frac{\pi}{3}

radyan (

60^\circ

) olarak bulunur.

Trigonometrik fonksiyonların değerlerini standart açılar cinsinden bulabilmek için zaman değerleri açıya dönüştürülmüştür.

İvme büyüklüklerinin uzanım cinsinden değerlerini bulma.

İvme büyüklüğü

a = \omega^2 |x|

bağıntısıyla uzanımla doğru orantılıdır.

a_1 = \omega^2 A \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \omega^2 A \approx 0,866 a_{\text{maks}}

a_2 = \omega^2 A \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \omega^2 A \approx 0,707 a_{\text{maks}}

a_3 = \omega^2 A \cos(60^\circ) = 0,5 \omega^2 A = 0,5 a_{\text{maks}}

elde edilir.

Her bir andaki ivme büyüklüğünü maksimum ivme referansıyla karşılaştırmak için değerler hesaplanmıştır.

Hesaplanan ivme büyüklüklerini karşılaştırarak küçükten büyüğe sıralama.

0,5 a_{\text{maks}} < 0,707 a_{\text{maks}} < 0,866 a_{\text{maks}}

olduğundan sıralama

a_3 < a_2 < a_1

olur.

Soruda istenen küçükten büyüğe doğru sıralama sonucuna ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basit harmonik harekette uzanım ve ivme büyüklükleri denge konumuna olan uzaklıkla doğru orantılıdır. Maksimum genlik noktasından harekete başlayan cisim için zamana bağlı değişim kosinüs fonksiyonuyla ifade edilir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru