Examkin

Soru

Zorluk: ZorGeometrik Dizi ve Özellikleri

Her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için an>0a_n > 0 olan ve ortak çarpanı 1'den büyük olan bir (an)(a_n) geometrik dizisinde,

a1+a2+a3=7a_1 + a_2 + a_3 = 7
a12+a22+a32=21a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 21

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, log⁡4(a11)\log_4(a_{11}) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    \dfrac{11}{2}
  3. C
    10
  4. 5Cevap
  5. E
    6

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Doğru cevap 5 değeridir. Çarpanlara ayırma ve denklem sisteminin çözümünden dizinin ilk terimi 1, ortak çarpanı ise 2 olarak bulunur. Buradan dizinin 11. terimi 2102^{10} olur ve bunun 4 tabanındaki logaritması 5'e eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin terimlerini ilk terim a1=aa_1 = a ve ortak çarpan rr cinsinden ifade etmek.
a(1+r+r2)=7a(1 + r + r^2) = 7 ve a2(1+r2+r4)=21a^2(1 + r^2 + r^4) = 21 denklemleri elde edilir.
Terimleri ortak parametrelere bağlayarak denklem sistemini çözülebilir hale getirmek.
2
1+r2+r41 + r^2 + r^4 ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla çarpanlarına ayırmak.
1+r2+r4=(1+r+r2)(1−r+r2)1 + r^2 + r^4 = (1 + r + r^2)(1 - r + r^2) özdeşliği kullanılarak ikinci denklem a2(1+r+r2)(1−r+r2)=21a^2(1 + r + r^2)(1 - r + r^2) = 21 şeklinde yazılır.
Birinci denklemde verilen toplam ifadesini ikinci denklem içinde bulup yerine yazabilmek.
3
Birinci denklemdeki a(1+r+r2)=7a(1 + r + r^2) = 7 değerini ikinci denklemde yerine yazarak sadeleştirme yapmak.
7⋅a(1−r+r2)=21  ⟹  a(1−r+r2)=37 \cdot a(1 - r + r^2) = 21 \implies a(1 - r + r^2) = 3 denklemi elde edilir.
Denklem sistemini daha sade ve çözülebilir bir doğrusal forma getirmek.
4
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak ve çıkararak aa ve rr değerlerini belirlemek.
Taraf tarafa çıkarma ile 2ar=4  ⟹  ar=22ar = 4 \implies ar = 2 ve toplama ile a(1+r2)=5a(1+r^2) = 5 bulunur. Buradan r=2r=2 ve a1=1a_1=1 elde edilir.
Dizinin temel parametreleri olan ilk terim ve ortak çarpanı bularak diziyi tamamen tanımlamak.
5
Dizinin genel terim formülünü oluşturup a11a_{11} terimini hesaplamak.
an=2n−1a_n = 2^{n-1} genel teriminden a11=210a_{11} = 2^{10} olarak bulunur.
Logaritması alınacak terimin değerini üslü biçimde elde etmek.
6
İstenen log⁡4(a11)\log_4(a_{11}) ifadesini hesaplamak.
log⁡4(210)=log⁡22(210)=5\log_4(2^{10}) = \log_{2^2}(2^{10}) = 5 sonucu bulunur.
Soruda sorulan nihai değeri belirlemek.

Anahtar Kavram

Geometrik dizi terimleri arasındaki ilişkiler ve çarpanlara ayırma yöntemlerinin uygulanması
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru