Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Dik koordinat düzleminde,

f(x)=x2−6x+af(x) = x^2 - 6x + a

fonksiyonunun grafiği olan parabol, koordinat eksenlerini üç farklı noktada kesmektedir.

Parabolün eksenleri kestiği bu üç noktadan geçen çemberin yarıçapı 55 birim olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    -9
  2. -7Cevap
  3. C
    -5
  4. D
    7
  5. E
    9

Cevap

-7
Çemberin merkezi M(3,y0)M(3, y_0) olarak belirlendikten sonra, çemberin yarıçapı ile kiriş özellikleri ve C(0,a)C(0,a) noktasının merkeze olan uzaklığı kullanılarak iki adet denklem elde edilir. Bu denklemlerin ortak çözümünden elde edilen a=−7a = -7 değeri, parabolün eksenleri üç farklı noktada kesmesi şartını tam olarak sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirlemek.
Parabol y-eksenini C(0,a)C(0, a) noktasında keser. x-eksenini ise A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0) noktalarında keser.
Çemberin geçtiği üç noktanın koordinatlarını parabolün katsayıları cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Çemberin merkezinin apsisini bulmak.
Çemberin merkezi M(x0,y0)M(x_0, y_0) olsun. [AB][AB] kirişi x-ekseni üzerinde olduğundan, çemberin merkezi [AB][AB] kirişinin orta dikmesi üzerindedir. [AB][AB]'nin orta noktasının apsisi, parabolün tepe noktasın��n apsisiyle aynı olup x0=x1+x22=−−62=3x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{-6}{2} = 3 olarak bulunur. Dolayısıyla çemberin merkezi M(3,y0)M(3, y_0) noktasındadır.
Kirişin orta dikmesinin merkezden geçmesi kuralını kullanarak merkezin konumunu sadeleştirmek gerekir.
3
Kiriş uzunluğu ve Pisagor bağıntısı ile bir denklem elde etmek.
Parabolün x-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık ∣x1−x2∣=Δ=36−4a=29−a|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta} = \sqrt{36 - 4a} = 2\sqrt{9-a} birimdir. [AB][AB] kirişinin yarısı AH=9−aAH = \sqrt{9-a} olur. [AB][AB]'nin orta noktası H(3,0)H(3,0) ve çemberin merkezi M(3,y0)M(3, y_0) olmak üzere, AHMAHM dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanırsa: AH2+MH2=R2  ⟹  (9−a)+y02=25  ⟹  y02−a=16AH^2 + MH^2 = R^2 \implies (9-a) + y_0^2 = 25 \implies y_0^2 - a = 16 elde edilir.
Çemberin yarıçapı ile x-ekseni üzerindeki kirişin uzunluğu arasında bir ilişki kurmak amacıyla Pisagor teoremi uygulanır.
4
C(0,a)C(0,a) noktasının merkeze uzaklığı ile ikinci bir denklem elde etmek.
MC2=R2  ⟹  (3−0)2+(y0−a)2=25  ⟹  (y0−a)2=16  ⟹  y0−a=4MC^2 = R^2 \implies (3 - 0)^2 + (y_0 - a)^2 = 25 \implies (y_0 - a)^2 = 16 \implies y_0 - a = 4 veya y0−a=−4y_0 - a = -4 bulunur.
C(0,a)C(0,a) noktası çember üzerinde olduğundan merkeze olan uzaklığı yarıçapa eşit olmalıdır.
5
Denklem sistemlerini çözmek ve sınır koşullarını denetlemek.
1. Durum: y0=a+4  ⟹  (a+4)2−a=16  ⟹  a2+7a=0y_0 = a + 4 \implies (a+4)^2 - a = 16 \implies a^2 + 7a = 0. a≠0a \neq 0 olmalıdır (aksi halde parabol eksenleri sadece 2 noktada keser), buradan a=−7a = -7 bulunur.
2. Durum: y0=a−4  ⟹  (a−4)2−a=16  ⟹  a2−9a=0y_0 = a - 4 \implies (a-4)^2 - a = 16 \implies a^2 - 9a = 0. a≠0a \neq 0 olduğundan a=9a = 9 bulunur. Ancak a=9a = 9 için f(x)=(x−3)2f(x) = (x-3)^2 olur ve parabol x-eksenine teğet olacağından eksenleri sadece 2 farklı noktada kesebilir. Bu durum soruda verilen 'üç farklı noktada kesmektedir' koşuluna aykırıdır.
Parabolün eksenleri kestiği nokta sayısını belirleyen diskriminant ve tanım koşullarını kontrol ederek geçerli parametre değerini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile analitik düzlemde çemberin kiriş özelliklerinin ortak uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru