Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİndirgemeli Diziler

Bir (an)(a_n) dizisinde, a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1−an=n⋅n!a_{n+1} - a_n = n \cdot n!

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi olan a6a_6 değeri kaçtır?

Cevap: 724

Cevap

İndirgemeli dizinin ardışık farkları toplanarak elde edilen teleskopik toplam sonucunda dizinin 6. terimi 724 olarak bulunur.
Ardışık terimlerin farkları olan an+1−an=n⋅n!a_{n+1} - a_n = n \cdot n! bağıntısı n=1,2,3,4,5n = 1, 2, 3, 4, 5 için taraf tarafa toplandığında a6−a1=719a_6 - a_1 = 719 elde edilir. Buradan a1=5a_1 = 5 değeri eklenerek a6=724a_6 = 724 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını n=1n = 1 ile n=5n = 5 arasındaki tam sayılar için tek tek yazın.
a2−a1=1⋅1!a_2 - a_1 = 1 \cdot 1!, a3−a2=2⋅2!a_3 - a_2 = 2 \cdot 2!, a4−a3=3⋅3!a_4 - a_3 = 3 \cdot 3!, a5−a4=4⋅4!a_5 - a_4 = 4 \cdot 4!, a6−a5=5⋅5!a_6 - a_5 = 5 \cdot 5!
a6a_6 değerini elde edebilmek için son indirgeme adımında sol tarafta a6a_6 teriminin oluşması gerekir.
2
Elde edilen 5 adet denklemi taraf tarafa toplayın.
a6−a1=1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+4⋅4!+5⋅5!a_6 - a_1 = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + 4 \cdot 4! + 5 \cdot 5!
Taraf tarafa toplama yapıldığında a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Sağ taraftaki faktöriyelli çarpımların değerlerini hesaplayıp toplayın.
1⋅1=11 \cdot 1 = 1, 2⋅2=42 \cdot 2 = 4, 3⋅6=183 \cdot 6 = 18, 4⋅24=964 \cdot 24 = 96, 5⋅120=6005 \cdot 120 = 600 olup toplam 1+4+18+96+600=7191 + 4 + 18 + 96 + 600 = 719 bulunur.
Her bir terimin sayısal değerini bulup toplayarak ardışık terimlerin farklarının toplamını belirleriz.
4
a1=5a_1 = 5 başlangıç koşulunu kullanarak a6a_6 değerini hesaplayın.
a6−5=719  ⟹  a6=724a_6 - 5 = 719 \implies a_6 = 724
Teleskopik toplam denkleminde bilinen a1a_1 değerini yerine yazarak bilinmeyen a6a_6 terimini yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam ve faktöriyel içeren terimlerin sadeleştirilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

İndirgemeli Diziler

Bu konudan daha fazla soru