Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir (a_n) geometrik dizisi için, a_2 \cdo… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan artan bir

(a_n)

geometrik dizisi için,

a_2 \cdot a_{10} = 64

\frac{a_5^3 + a_7^3}{a_5 + a_7} = 208

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $a_3 + a_9$ toplamının değeri kaçtır?

İstenen toplamın değeri 65'tir.

Verilen geometrik dizide

a_2 \cdot a_{10} = a_5 \cdot a_7 = 64

ilişkisinden ve iki küp toplamı açılımından

a_5^2 + a_7^2 = 272

bulunur. Tam kare tamamlama yöntemiyle

a_5 + a_7 = 20

elde edilir. Çarpımları 64, toplamları 20 olan pozitif sayılar 4 ve 16'dır. Dizi artan olduğu için

a_5 = 4

a_7 = 16

olur. Buradan ortak çarpanın karesi

r^2 = 4

olarak bulunur. İstenen terimler

a_3 = a_5 / r^2 = 1

a_9 = a_7 \cdot r^2 = 64

olduğundan, bunların toplamı 65 değerine eşittir.

Dizinin indis özelliklerini kullanarak terimlerin çarpımını ilişkilendirmek.

a_5 \cdot a_7 = 64

Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir (

2 + 10 = 5 + 7 = 12

Verilen rasyonel ifadeyi iki küp toplamı özdeşliği ile sadeleştirmek.

a_5^2 + a_7^2 = 272

a_5^3 + a_7^3 = (a_5 + a_7)(a_5^2 - a_5 a_7 + a_7^2)

özdeşliği kullanılarak payda sadeleştirilir ve

a_5 \cdot a_7 = 64

değeri yerine yazılır.

Tam kare özdeşliğinden yararlanarak terimlerin toplamını bulmak.

a_5 + a_7 = 20

(a_5 + a_7)^2 = a_5^2 + a_7^2 + 2a_5 a_7

eşitliğinde değerler yerine yazılıp karekök alınır.

Çarpımları 64 ve toplamları 20 olan terimleri belirlemek.

a_5 = 4

a_7 = 16

Dizi artan olduğundan küçük olan terim

a_5 = 4

, büyük olan terim

a_7 = 16

olmalıdır.

Ortak çarpan

r

'yi bularak

a_3

a_9

terimlerini elde etmek.

a_3 = 1

a_9 = 64

ve toplamları 65

a_7 = a_5 \cdot r^2 \implies r^2 = 4

bulunur. Buradan

a_3 = a_5 / r^2 = 1

a_9 = a_7 \cdot r^2 = 64

elde edilir.

Geometrik dizide terimler arası çarpım ilişkisi ve ortak çarpan yardımıyla terimler arası geçiş yapılması.

Soru