Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi f′(x)f'(x) olmak üzere, x≠1x \neq 1 için
f′(x)=3x3−x2−2xx−1−2f'(x) = \frac{3x^3 - x^2 - 2x}{x-1} - 2
eşitliği sağlanmaktadır.

f(2)=5f(2) = 5 olduğuna göre, f(3)f(3) değeri kaçtır?

  1. A
    17
  2. 27Cevap
  3. C
    30
  4. D
    33
  5. E
    35

Cevap

İstenen f(3)f(3) değeri 27 olarak bulunur.
Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde f′(x)=3x2+2x−2f'(x) = 3x^2 + 2x - 2 elde edilir. Bu ifadenin integrali alındığında f(x)=x3+x2−2x+Cf(x) = x^3 + x^2 - 2x + C fonksiyonuna ulaşılır. f(2)=5f(2) = 5 koşulu kullanıldığında integral sabiti C=−3C = -3 olarak bulunur. Fonksiyon kuralı f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 olduğundan, f(3)f(3) değeri 2727 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Türev fonksiyonunun pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapılması
f′(x)=3x2+2x−2f'(x) = 3x^2 + 2x - 2 (her x∈Rx \in \mathbb{R} için)
Belirsiz integral alma kurallarını uygulamadan önce türev fonksiyonunun kuralını daha basit bir biçime getirmek gerekir. 3x3−x2−2x=x(3x2−x−2)=x(3x+2)(x−1)3x^3 - x^2 - 2x = x(3x^2 - x - 2) = x(3x+2)(x-1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. x≠1x \neq 1 için paydadaki x−1x-1 ifadesi sadeleşir ve f′(x)=x(3x+2)−2=3x2+2x−2f'(x) = x(3x+2) - 2 = 3x^2 + 2x - 2 elde edilir. Fonksiyon gerçel sayılarda türevlenebilir olduğundan bu eşitlik tüm gerçel sayılar için geçerlidir.
2
Türev fonksiyonunun belirsiz integralinin alınarak genel fonksiyon kuralının elde edilmesi
f(x)=x3+x2−2x+Cf(x) = x^3 + x^2 - 2x + C
Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınır. İntegral alma kuralları gereğince ∫(3x2+2x−2)dx=x3+x2−2x+C\int (3x^2 + 2x - 2) dx = x^3 + x^2 - 2x + C elde edilir. Burada CC integral sabitidir.
3
f(2)=5f(2) = 5 başlangıç koşulunu kullanarak integral sabiti olan CC değerinin bulunması
C=−3C = -3
Fonksiyonun kuralında x=2x = 2 yazılarak verilen değere eşitlenir: f(2)=23+22−2(2)+C=5  ⟹  8+4−4+C=5  ⟹  8+C=5f(2) = 2^3 + 2^2 - 2(2) + C = 5 \implies 8 + 4 - 4 + C = 5 \implies 8 + C = 5 elde edilir. Buradan C=−3C = -3 bulunur. Böylece fonksiyon f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 olarak belirlenir.
4
Elde edilen fonksiyon kuralında x=3x = 3 yazılarak f(3)f(3) değerinin hesaplanması
f(3)=27f(3) = 27
Bulunan f(x)=x3+x2−2x−3f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 3 fonksiyonunda xx yerine 33 yazıldığında f(3)=33+32−2(3)−3=27+9−6−3=27f(3) = 3^3 + 3^2 - 2(3) - 3 = 27 + 9 - 6 - 3 = 27 elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabiti kullanılarak fonksiyonun kendisini elde etme.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru