Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDizi Kavramı ve Genel Terim

(an)(a_n) bir sonlu dizi olmak üzere, bu dizinin genel terimi

an=24−2n−n2+log⁡(5−n)(n+2)a_n = \sqrt{24 - 2n - n^2} + \log_{(5-n)}(n+2)

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, bu (an)(a_n) sonlu dizisinin terim sayısı en fazla ka��tır?

  1. A
    2
  2. 3Cevap
  3. C
    4
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Dizinin terim sayısı en fazla 3'tür.
Dizinin genel terimini oluşturan kareköklü ifadenin tanımlı olması için n≤4n \leq 4, logaritma tabanının tanımlı olması için n<5n < 5 ile n≠4n \neq 4, logaritmanın içinin tanımlı olması için ise n>−2n > -2 olmalıdır. Bir dizinin terimleri pozitif tam sayılar ile indekslendiğinden bu koşulların tamamını sağlayan değerler 1,21, 2 ve 33'tür. Dolayısıyla dizinin terim sayısı en fazla 3 olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin tanımlı olma koşulunu belirleme
−6≤n≤4-6 \leq n \leq 4
Çift dereceden köklü bir ifadenin gerçek sayılarda tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Buradan 24−2n−n2≥0  ⟹  n2+2n−24≤0  ⟹  (n+6)(n−4)≤024 - 2n - n^2 \geq 0 \implies n^2 + 2n - 24 \leq 0 \implies (n+6)(n-4) \leq 0 eşitsizliği elde edilir ve bu eşitsizliğin çözüm kümesi [−6,4][-6, 4] aralığıdır.
2
Logaritmalı ifadenin tanımlı olma koşullarını belirleme
n<5n < 5, n≠4n \neq 4 ve n>−2n > -2
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için tabanın sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir. Taban için 5−n>0  ⟹  n<55 - n > 0 \implies n < 5 ve 5−n≠1  ⟹  n≠45 - n \neq 1 \implies n \neq 4 elde edilir. Logaritmanın içi için n+2>0  ⟹  n>−2n + 2 > 0 \implies n > -2 elde edilir.
3
Dizi tanımını uygulayarak ortak çözüm kümesini bulma
n∈{1,2,3}n \in \{1, 2, 3\}
Bir genel terimin dizi belirtebilmesi için tanım kümesindeki nn değerlerinin pozitif tam sayılar kümesinin (Z+\mathbb{Z}^+) bir elemanı olması gerekir. Birinci ve ikinci adımlarda elde edilen −6≤n≤4-6 \leq n \leq 4, n<5n < 5, n≠4n \neq 4 ve n>−2n > -2 koşullarının tamamını sağlayan pozitif tam sayılar kümesi {1,2,3}\{1, 2, 3\} elemanlarından oluşur. Bu nedenle dizi en fazla 3 terimlidir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayı dizisinin genel teriminin tanımlı olabilmesi için indis değişkeninin pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı olması ve genel terimi oluşturan diğer fonksiyonların (karekök, logaritma vb.) gerçek sayılardaki tanım kümeleriyle çelişmemesi gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Dizi Kavramı ve Genel Terim

Bu konudan daha fazla soru