Bir (a_n) gerçel sayı dizisinde, a_1 = 1 ve her n \geq 1 tam sayısı için n \cdot a_{n+1} -… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $(a_n)$ gerçel sayı dizisinde, $a_1 = 1$ ve her $n \geq 1$ tam sayısı için

n \cdot a_{n+1} - (n+2) \cdot a_n = 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, $a_{30}$ teriminin değeri kaçtır?

Cevap: 929

Doğru cevap 929'dur.

Verilen bağıntı her iki tarafı

n(n+1)(n+2)

ifadesine bölünerek teleskobik bir fark bağıntısına dönüştürülür.

b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}

dönüşümüyle elde edilen

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}

eşitliği

n=1

ile

n=29

arasında toplandığında aradaki terimler sadeleşir. Başlangıç koşulu

a_1 = 1

kullanılarak genel terim

a_n = n(n+1) - 1

olarak elde edilir. Buradan

a_{30} = 30 \cdot 31 - 1 = 929

bulunur.

Verilen bağıntıyı

n(n+1)(n+2)

ile bölerek teleskobik biçime hazırlamak

\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}

Ardışık terimler arasında ortak paydalar oluşturarak sadeleştirme yapmak

b_n = \frac{a_n}{n(n+1)}

dönüşümü tanımlamak

b_{n+1} - b_n = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}

Bağıntıyı birinci dereceden doğrusal bir indirgemeli dizi biçimine indirgemek

Rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı olarak yazmak

b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}

Teleskobik toplam yöntemiyle sadeleşebilecek bir yapı elde etmek

n=1

ile

n=29

arasındaki terimler için taraf tarafa toplama yapmak

b_{30} - b_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{30 \cdot 31}

Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskobik sadeleşme) sağlamak

b_1 = \frac{1}{2}

başlangıç değerini kullanarak

b_{30}

terimini bulmak

b_{30} = 1 - \frac{1}{30 \cdot 31}

a_1 = 1

olduğu için

b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}

elde edilir ve yerine yazılır

b_{30}

tanımından yararlanarak

a_{30}

değerini hesaplamak

a_{30} = 929

b_{30} = \frac{a_{30}}{30 \cdot 31}

bağıntısında paydaları eşitleyip sadeleştirerek sonuca ulaşmak

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan/bölen (bütünleştirici faktör) kullanarak teleskobik toplam oluşturma

Soru