Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi f' olm… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi

f'

olmak üzere, her

x \neq 2

için

f'(x) = \frac{x^3 - 8}{x - 2} - 2x

eşitliği sağlanmaktadır.

$f(3) = 10$ olduğuna göre, $f(0)$ değeri kaçtır?

-11

Türev fonksiyonundaki rasyonel ifade sadeleştirildiğinde

f'(x) = x^2 + 4

elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında

f(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + C

fonksiyonuna ulaşılır.

f(3) = 10

bilgisiyle

21 + C = 10 \implies C = -11

olarak hesaplanır.

f(0) = C

olduğundan doğru yanıt

-11

olur.

Türev fonksiyonundaki rasyonel ifadeyi sadeleştirme

f'(x) = x^2 + 4

(her

x

gerçel sayısı için)

x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)

özdeşliği kullanılarak pay ve paydadaki

(x-2)

ifadeleri sadeleştirilir:

\frac{x^3-8}{x-2} - 2x = (x^2+2x+4) - 2x = x^2+4

bulunur. Fonksiyon türevlenebilir olduğundan türevi her yerde süreklidir.

Belirsiz integral alma kurallarını kullanarak fonksiyonu bulma

f(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + C

Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için her iki tarafın belirsiz integrali alınır:

\int f'(x) \, dx = \int (x^2 + 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C

Verilen başlangıç koşulunu kullanarak integral sabitini hesaplama

C = -11

f(3) = 10

eşitliği fonksiyonda yerine yazılır:

f(3) = \frac{3^3}{3} + 4(3) + C = 9 + 12 + C = 21 + C = 10

denkleminden

C = -11

bulunur.

İstenen fonksiyon değerini hesaplama

f(0) = -11

Fonksiyonda

x = 0

yazıldığında

f(0) = \frac{0^3}{3} + 4(0) + C = C

olduğundan,

f(0) = -11

elde edilir.

Türevi verilen bir fonksiyonun belirsiz integral alma kuralları ve başlangıç değer koşulu yardımıyla kendisinin bulunması

Soru