Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
L=lim⁡x→01+xsin⁡(3x)−cos⁡(2x)x2L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - \cos(2x)}{x^2}

olduğuna göre, 2L2L değeri kaçtır?

Cevap: 7

Cevap

Hesaplanan limit değerinin iki katı olan 7'dir.
Limit ifadesi parçalandığında köklü terimlerin oluşturduğu birinci kısmın limiti eşlenik yardımıyla 3/2, trigonometrik terimlerin oluşturduğu ikinci kısmın limiti ise yarım açı formülüyle 2 olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı olan L sayısı 7/2'dir. Soruda istenen 2L ifadesinin değeri ise 7'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik durumunun belirlenmesi
x→0x \to 0 için payda 02=00^2 = 0 ve pay 1+0−cos⁡(0)=1−1=0\sqrt{1+0} - \cos(0) = 1-1 = 0 olduğundan 00\frac{0}{0} belirsizliği mevcuttur.
Limit hesaplamasına başlamadan önce belirsizlik türünü tespit etmek gerekir.
2
Limit ifadesinin iki parçaya ayrılması
L=lim⁡x→0(1+xsin⁡(3x)−1x2+1−cos⁡(2x)x2)L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} + \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} \right)
Buradan L1=lim⁡x→01+xsin⁡(3x)−1x2L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1}{x^2} ve L2=lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} olsun.
Toplamsal ifadeleri ayrı ayrı limitler halinde incelemek çözümü kolaylaştırır.
3
Eşlenik çarpımı ile birinci limitin (L1L_1) hesaplanması
L1=lim⁡x→0(1+xsin⁡(3x)−1)(1+xsin⁡(3x)+1)x2(1+xsin⁡(3x)+1)L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1 + x\sin(3x)} - 1)(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}
L1=lim⁡x→0xsin⁡(3x)x2(1+xsin⁡(3x)+1)L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{x\sin(3x)}{x^2(\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1)}
L1=lim⁡x→0sin⁡(3x)x⋅lim⁡x→011+xsin⁡(3x)+1L_1 = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x\sin(3x)} + 1}
L1=3⋅12=32L_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
Köklü ifadelerde belirsizliği gidermek için eşlenik çarpımı uygulanır ve lim⁡x→0sin⁡(ax)x=a\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a kuralı kullanılır.
4
Trigonometrik yarım açı formülü ile ikinci limitin (L2L_2) hesaplanması
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)  ⟹  1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \implies 1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)
L2=lim⁡x→02sin⁡2(x)x2=2⋅(lim⁡x→0sin⁡(x)x)2=2⋅12=2L_2 = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2} = 2 \cdot \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2
Trigonometrik belirsizliklerde yarım açı dönüşümü yapılarak lim⁡x→0sin⁡(x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 kuralı uygulanır.
5
L ve 2L değerlerinin elde edilmesi
L=L1+L2=32+2=72L = L_1 + L_2 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}
Buradan,
2L=2⋅72=72L = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7 bulunur.
İki ayrı parçadan elde edilen limit değerleri toplanarak L değeri ve ardından sorulan 2L değeri bulunur.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda köklü ifadeler için eşlenik çarpımı ve trigonometrik ifadeler için yarım açı formülleri kullanılarak belirsizliğin giderilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru