Examkin

Soru

Zorluk: Zorİndirgemeli Diziler
İlk terimi a1=2a_1 = 2 olan bir (an)(a_n) dizisinin ardışık terimleri arasındaki ilişki, n≥1n \geq 1 olmak üzere
an+1=n+2n⋅ana_{n+1} = \frac{n+2}{n} \cdot a_n
bağıntısıyla verilmektedir.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

  1. A
    110
  2. B
    220
  3. C
    330
  4. 440Cevap
  5. E
    570

Cevap

Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 440'tır.
Verilen bağıntı an+1an=n+2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{n} olarak düzenlenip n=1n=1'den n=9n=9'a kadar çarpıldığında a10=10⋅112a1a_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} a_1 elde edilir. Buradan genel terim ak=k(k+1)a_k = k(k+1) olarak bulunur. Terimlerin toplamı olan 2+6+12+⋯+1102 + 6 + 12 + \dots + 110 ifadesi toplandığında 440 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleme
an+1an=n+2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{n}
Teleskopik çarpım yöntemini uygulayabilmek için terimleri oran biçiminde yazarız.
2
Taraf tarafa çarpma işlemi
aka1=k(k+1)2\frac{a_k}{a_1} = \frac{k(k+1)}{2}
n=1,2,3,…,k−1n = 1, 2, 3, \dots, k-1 değerleri için eşitlikler yazılıp taraf tarafa çarpıldığında sol tarafta sadeleşmeler olur. Sağ tarafta ise 3/1⋅4/2⋅5/3…3/1 \cdot 4/2 \cdot 5/3 \dots çarpımından ardışık sadeleşmelerle pay kısmında k(k+1)k(k+1), payda kısmında ise 1⋅21 \cdot 2 kalır.
3
Genel terimi bulma
ak=k(k+1)=k2+ka_k = k(k+1) = k^2 + k
a1=2a_1 = 2 başlangıç değeri yerine yazıldığında ak=2⋅k(k+1)2=k(k+1)a_k = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) elde edilir.
4
Toplamı hesaplama
S10=385+55=440S_{10} = 385 + 55 = 440
İlk 10 terimin toplamı ∑k=110(k2+k)=∑k=110k2+∑k=110k\sum_{k=1}^{10} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=1}^{10} k formülleriyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi ve serilerin toplam formüllerinin uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İndirgemeli Diziler

Bu konudan daha fazla soru