Bir f fonksiyonunun birinci türevi olan f'(x) fonksiyonu her x gerçel sayısı için f'(2x - 1) = 4x^2 - 4x + 3\neşitliğini sağlamaktadır. f(3) = 17 olduğuna göre, f(-3) değeri kaçtır?

Bir f fonksiyonunun birinci türevi olan f'(x) fonksiyonu her x gerçel sayısı için f'(2x - … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

f

fonksiyonunun birinci türevi olan

f'(x)

fonksiyonu her

x

gerçel sayısı için

f'(2x - 1) = 4x^2 - 4x + 3

eşitliğini sağlamaktadır.

f(3) = 17

olduğuna göre,

f(-3)

değeri kaçtır?

-13

Doğru seçenekteki değer,

f'(2x-1)

fonksiyonundan değişken dönüşümü yapılarak

f'(x) = x^2 + 2

fonksiyonunun bulunması, ardından integral kuralları ile

f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + 2

genel kuralına ulaşılması ve

x = -3

yazılarak

-13

sonucunun elde edilmesiyle bulunmuştur.

f'(2x-1)

ifadesinde değişken değiştirme yapılarak

f'(x)

fonksiyonu elde edilir.

f'(x) = x^2 + 2

u = 2x - 1

dönüşümüyle

x = \frac{u+1}{2}

yazılır. Bu değer

f'(2x-1) = 4x^2 - 4x + 3

eşitliğinde yerine yazıldığında

f'(u) = u^2 + 2

bulunur.

f'(x)

fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak

f(x)

fonksiyonu bulunur.

f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + C

Belirsiz integral alma kuralları gereği, dereceler 1 artırılıp yeni dereceye bölünür ve integral sabiti eklenir.

f(3) = 17

başlangıç koşulu kullanılarak

C

integral sabiti bulunur.

C = 2

f(3) = \frac{3^3}{3} + 2(3) + C = 17 \implies 15 + C = 17 \implies C = 2

elde edilir.

Elde edilen

f(x) = \frac{x^3}{3} + 2x + 2

fonksiyonunda

x = -3

yazılarak

f(-3)

değeri hesaplanır.

f(-3) = -13

f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} + 2(-3) + 2 = -9 - 6 + 2 = -13

olarak bulunur.

Belirsiz integral kuralları ve integral sabitinin hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s