Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x = x_0 noktasında sürekli olan bir f fonksiyonu… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve $x = x_0$ noktasında sürekli olan bir $f$ fonksiyonu ile her gerçel sayı değeri için süreksiz olan bir $g$ fonksiyonunun bileşkesi olan $(g \circ f)$ fonksiyonu da $x = x_0$ noktasında kesinlikle süreksizdir ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen bileşke fonksiyon iddia edildiği gibi kesinlikle süreksiz olmak zorunda değildir; sürekli de olabilir. Bu nedenle ifade yanlıştır.

Verilen ifade yanlıştır. Sürekli bir sabit fonksiyon ile her noktada süreksiz olan bir fonksiyonun bileşkesi, her noktada sürekli olan sabit bir fonksiyon oluşturur.

Adım Adım Çözüm

Bileşke fonksiyon tanımını ve verilen süreklilik koşullarını analiz edin.

f

fonksiyonu

x = x_0

noktasında süreklidir.

g

fonksiyonu ise tanım kümesindeki hiçbir noktada sürekli değildir. Bizden

(g \circ f)(x) = g(f(x))

fonksiyonunun

x_0

noktasındaki süreklilik durumu istenmektedir.

Bileşke fonksiyonun yapısını belirleyerek analiz adımlarını oluşturmak.

İçteki sürekli

f

fonksiyonunu sabit bir fonksiyon olarak seçerek karşıt örnek kurgulayın.

f(x) = c

(

c \in \mathbb{R}

) sabit fonksiyonunu seçelim. Sabit fonksiyonlar tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan, bu fonksiyon

x_0

noktasında da süreklidir.

Sabit fonksiyonların süreklilik özelliğinden yararlanarak dıştaki süreksiz fonksiyonun etkisini sınırlandırmak.

Seçilen

f

fonksiyonu ile bileşke fonksiyonu hesaplayın ve sürekliliğini inceleyin.

(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(c)

olur.

g(c)

değeri bir gerçel sayı sabitidir (örneğin

k

). Bu durumda

(g \circ f)(x) = k

sabit fonksiyonu elde edilir. Sabit fonksiyonlar her noktada sürekli olduğundan, bileşke fonksiyon

x = x_0

noktasında süreklidir. Bu durum, verilen genel iddianın her zaman doğru olmadığını gösterir.

Bileşke fonksiyonun sürekli olabileceğini göstererek önermenin yanlışlığını kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Bileşke fonksiyonların sürekliliği ve karşıt örnek yöntemiyle önermelerin yanlışlanması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru