Examkin

Soru

Zorluk: ZorLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)
Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir P(x)P(x) polinomu için
P(1)=0P(1) = 0
lim⁡x→3P(x)−4x2−9=2\lim_{x \to 3} \frac{P(x) - 4}{x^2 - 9} = 2
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, P(2)P(2) değeri kaçtır?

Cevap: -3

Cevap

P(2) değeri -3'tür.
Limit değerinin gerçel bir sayı olması için payın da x=3 noktasında sıfır olması gerekir. Buradan P(3)=4 olduğu bulunur. Limit ifadesi çarpanlara ayrılıp veya L'Hopital uygulanarak P'(3)=12 bulunur. P(1)=0 koşuluyla birlikte bu veriler kullanıldığında P(x) = 5x^2 - 18x + 13 polinomuna ulaşılır. Polinomda x=2 yazıldığında sonuç -3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit ifadesinde paydanın x→3x \to 3 için sıfır olduğunu belirlemek ve belirsizliğin giderilmesi için payın limitini bulmak.
P(3)−4=0  ⟹  P(3)=4P(3) - 4 = 0 \implies P(3) = 4 elde edilir.
Payda sıfıra yaklaşırken limitin gerçel bir sayıya eşit olabilmesi için 0/00/0 belirsizliği olmalıdır.
2
P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c polinomunda P(1)=0P(1) = 0 ve P(3)=4P(3) = 4 değerlerini kullanarak birinci ve ikinci katsayı ilişkisini yazmak.
a+b+c=0a + b + c = 0 ve 9a+3b+c=49a + 3b + c = 4 denklemlerinden 4a+b=24a + b = 2 ba��ıntısı bulunur.
Verilen polinom değerlerinin katsayılar cinsinden ifadesini sadeleştirmek.
3
Limit değerini çarpanlara ayırma ya da türev tanımı (L'Hopital) ile analiz etmek.
lim⁡x→3P(x)−4x2−9=lim⁡x→3P(x)−P(3)x−3⋅1x+3=P′(3)6=2  ⟹  P′(3)=12\lim_{x \to 3} \frac{P(x) - 4}{x^2 - 9} = \lim_{x \to 3} \frac{P(x) - P(3)}{x - 3} \cdot \frac{1}{x + 3} = \frac{P'(3)}{6} = 2 \implies P'(3) = 12 olur. Buradan 6a+b=126a + b = 12 elde edilir.
0/00/0 belirsizliğinin giderilmesiyle oluşan limiti türev yardımıyla ifade etmek.
4
Elde edilen 4a+b=24a + b = 2 ve 6a+b=126a + b = 12 denklem sistemini çözerek polinomu belirlemek.
a=5a = 5, b=−18b = -18 ve c=13c = 13 bulunarak P(x)=5x2−18x+13P(x) = 5x^2 - 18x + 13 elde edilir.
Polinomun tüm katsayılarını bulmak.
5
Bulunan polinomda x=2x = 2 yazarak sonucu hesaplamak.
P(2)=5(2)2−18(2)+13=−3P(2) = 5(2)^2 - 18(2) + 13 = -3 bulunur.
Soruda istenen P(2)P(2) değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden polinom fonksiyonlarda limit belirsizliğinin çarpanlara ayırma veya türev yardımıyla çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru