Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorGeometrik Dizi ve Özellikleri
Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisi ile ortak farkı sıfırdan farklı olan bir (bn)(b_n) aritmetik dizisi için
a3=b3a5=b7a7=b15\begin{aligned} a_3 &= b_3 \\ a_5 &= b_7 \\ a_7 &= b_{15} \end{aligned}
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Bu diziler için b1+b17=20b_1 + b_{17} = 20 olduğuna göre, a11−b35a_{11} - b_{35} farkı kaçtır?

  1. A
    25
  2. 28Cevap
  3. C
    -4
  4. D
    -68
  5. E
    988

Cevap

Dizilerin genel terimleri üzerinden yapılan hesaplamalar sonucu elde edilen 28 değeri doğrudur.
Doğru seçenek olan 28 değeri; geometrik dizide ortak çarpan karesinin r2=2r^2 = 2 ve aritmetik dizide ortak farkın d=1d = 1 bulunmasıyla, a11=64a_{11} = 64 ile b35=36b_{35} = 36 değerlerinin farkı alınarak doğru bir şekilde hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizilerin verilen eşitlikleri arasındaki fark ilişkisini kuralım.
a5−a3=b7−b3a_5 - a_3 = b_7 - b_3 ve a7−a5=b15−b7a_7 - a_5 = b_{15} - b_7 eşitlikleri yazılır.
Geometrik dizi terimleri ile aritmetik dizi terimleri arasındaki farkları ilişkilendirmek.
2
Aritmetik dizinin ortak farkını dd kabul edip indis farkları üzerinden oranlama yapalım.
b7−b3=4db_7 - b_3 = 4d ve b15−b7=8db_{15} - b_7 = 8d olur. Buradan a7−a5a5−a3=8d4d=2\frac{a_7 - a_5}{a_5 - a_3} = \frac{8d}{4d} = 2 elde edilir.
Ortak fark sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirme yaparak geometrik dizinin terimleri arasında bir bağıntı kurmak.
3
Geometrik dizinin terimlerini ortak çarpan rr cinsinden yazıp r2r^2 değerini bulalım.
a3r4−a3r2a3r2−a3=2  ⟹  a3r2(r2−1)a3(r2−1)=2\frac{a_3 r^4 - a_3 r^2}{a_3 r^2 - a_3} = 2 \implies \frac{a_3 r^2(r^2 - 1)}{a_3(r^2 - 1)} = 2 olur. r2≠1r^2 \neq 1 ve a3≠0a_3 \neq 0 olduğundan sadeleştirme ile r2=2r^2 = 2 bulunur.
Geometrik dizinin ardışık iki çift indisli terimi arasındaki oran ilişkisini çözmek.
4
b1+b17=20b_1 + b_{17} = 20 bilgisini kullanarak dizilerin terim değerlerini bulalım.
Aritmetik dizide b1+b17=b3+b15=20b_1 + b_{17} = b_3 + b_{15} = 20 olur. a3=b3a_3 = b_3 ve a7=b15a_7 = b_{15} olduğundan a3+a7=20a_3 + a_7 = 20 elde edilir. a7=a3r4=4a3a_7 = a_3 r^4 = 4a_3 yazılırsa, 5a3=20  ⟹  a3=45a_3 = 20 \implies a_3 = 4 ve a7=16a_7 = 16 bulunur.
Dizilerin başlangıç ve belirli indisli terimlerinin sayısal değerlerini tespit etmek.
5
Dizilerin ortak farkı dd ve aritmetik dizinin genel terimini elde edelim.
b3=4b_3 = 4, b7=a5=a3r2=8b_7 = a_5 = a_3 r^2 = 8 olur. b7−b3=4d  ⟹  8−4=4d  ⟹  d=1b_7 - b_3 = 4d \implies 8 - 4 = 4d \implies d = 1 bulunur. Buradan bn=n+1b_n = n + 1 genel terimi yazılır.
Soruda istenen aritmetik dizi teriminin sayısal değerini hesaplayabilmek.
6
a11a_{11} ve b35b_{35} terimlerini hesaplayıp farklarını alalım.
a11=a3r8=4×(r2)4=4×24=64a_{11} = a_3 r^8 = 4 \times (r^2)^4 = 4 \times 2^4 = 64 ve b35=35+1=36b_{35} = 35 + 1 = 36 olur. Farkları ise 64−36=2864 - 36 = 28 olarak bulunur.
Sorunun bizden istediği nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Geometrik ve Aritmetik Dizilerin Terimleri Arasındaki İndis İlişkileri
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru