Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonunun x=ax = a noktasında sürekli olması, bu noktada türevlenebilir olması için yeterli bir koşuldur.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. Süreklilik, türevlenebilme için gerekli bir koşul olsa da yeterli bir koşul değildir.
Süreklilik, türevlenebilme için sadece gerekli bir ön koşuldur; sürekli olan her fonksiyonun türevlenebilir olması gerekmediğinden (örneğin mutlak değer fonksiyonlarının köklerindeki kırılma noktaları) önerme yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Türevlenebilme ve süreklilik kavramları arasındaki mantıksal ilişkiyi kurun.
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada kesinlikle süreklidir. Ancak bu önermenin karşıtı her zaman doğru değildir; yani süreklilik, türevlenebilirlik için gerekli bir koşuldur fakat yeterli değildir.
Türevlenebilme kavramı sürekliliğe göre daha güçlü ve kısıtlayıcı bir yapıya sahiptir.
2
Sürekli olup türevlenemeyen bir fonksiyon örneği (karşı örnek) belirleyin.
f(x)=∣x∣f(x) = |x| fonksiyonunun x=0x = 0 noktasındaki durumu incelendiğinde, lim⁡x→0f(x)=f(0)=0\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0 olduğundan fonksiyon bu noktada süreklidir. Ancak sağdan türevi 11, soldan türevi −1-1 olduğundan bu noktada türevi yoktur.
Grafikteki keskin kırılma (köşe) noktalarında limit ve süreklilik sağlanırken sağ ve sol türevler birbirinden farklı olur.

Anahtar Kavram

Türevlenebilme ve süreklilik ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru