Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden bir g(x)g(x) polinom fonksiyonu (−∞,2](-\infty, 2] aralığında azalan, [2,∞)[2, \infty) aralığında artandır.

gg fonksiyonunun alabileceği en küçük değer −3-3 olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=∫(x3⋅g′′(x)+3x2⋅g′(x))dxf(x) = \int \left( x^3 \cdot g''(x) + 3x^2 \cdot g'(x) \right) dx
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=3f(1) = 3 olduğuna göre, f(2)f(2) değeri kaçtır?

  1. A
    19
  2. B
    61
  3. 5Cevap
  4. D
    0
  5. E
    75

Cevap

Doğru cevap 5 değeridir.
Doğru cevap olan 5 değeri; g(x)g(x) polinomunun tepe noktası özellikleri kullanılarak türevlerinin bulunması, integralin hesaplanarak f(x)=2x4−4x3+Cf(x) = 2x^4 - 4x^3 + C biçiminde yazılması, f(1)=3f(1) = 3 koşulu ile integral sabitinin C=5C = 5 olarak elde edilmesi ve son olarak f(2)f(2) değerinin yerine yazılmasıyla bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
g(x)g(x) fonksiyonunun denklemini ve türevlerini belirleme
g(x)=x2−4x+1g(x) = x^2 - 4x + 1, buradan g′(x)=2x−4g'(x) = 2x - 4 ve g′′(x)=2g''(x) = 2 bulunur.
Baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden g(x)g(x) fonksiyonunun (−∞,2](-\infty, 2] aralığında azalan ve [2,∞)[2, \infty) aralığında artan olması, tepe noktasının apsisinin r=2r=2 olduğunu gösterir. En küçük değerinin −3-3 olması ise tepe noktasının ordinatının k=−3k=-3 olduğunu belirtir. Buradan g(x)=1⋅(x−2)2−3=x2−4x+1g(x) = 1 \cdot (x-2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 1 denklemi elde edilir.
2
İntegrali hesaplayarak f(x)f(x) fonksiyonunu bulma
f(x)=2x4−4x3+Cf(x) = 2x^4 - 4x^3 + C elde edilir.
g′(x)g'(x) ve g′′(x)g''(x) ifadeleri integralde yerine yazılırsa: f(x)=∫(x3⋅2+3x2(2x−4)) dx=∫(8x3−12x2) dx=2x4−4x3+Cf(x) = \int (x^3 \cdot 2 + 3x^2(2x-4)) \, dx = \int (8x^3 - 12x^2) \, dx = 2x^4 - 4x^3 + C olur. (Alternatif olarak, integralin içi çarpımın türevi kuralından (x3⋅g′(x))′(x^3 \cdot g'(x))' ifadesine eşit olup doğrudan f(x)=x3⋅g′(x)+Cf(x) = x^3 \cdot g'(x) + C şeklinde de integre edilebilir.)
3
f(1)=3f(1) = 3 sınır koşulunu kullanarak integral sabitini (CC) bulma
C=5C = 5 bulunur.
f(1)=2(1)4−4(1)3+C=3  ⟹  −2+C=3  ⟹  C=5f(1) = 2(1)^4 - 4(1)^3 + C = 3 \implies -2 + C = 3 \implies C = 5 elde edilir.
4
f(2)f(2) değerini hesaplama
f(2)=5f(2) = 5 bulunur.
f(x)=2x4−4x3+5f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 5 fonksiyonunda x=2x=2 yazıldığında f(2)=2(24)−4(23)+5=32−32+5=5f(2) = 2(2^4) - 4(2^3) + 5 = 32 - 32 + 5 = 5 olarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, türev ile integral ilişkisi ve polinom/parabol özelliklerinin birlikte uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru