Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorOrtalama Değişim Hızı

Bir biyoloji laboratuvarında incelenen bakteri popülasyonunun tt. saatteki sayısının (bin adet olarak) zamana göre değişimi P(t)=a⋅bt+cP(t) = a \cdot b^t + c fonksiyonu ile modellenmektedir (burada aa, bb ve cc birer gerçek sayı olup b>1b > 1 ve a>0a > 0'dır).

Bu modelde bakteri popülasyonunun;
- İlk 2 saatteki ([0,2][0, 2] zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte 66 bin bakteri,
- 2. saat ile 4. saat arasındaki ([2,4][2, 4] zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte 2424 bin bakteridir.

Buna göre, bu bakteri popülasyonunun [1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte kaç bin bakteridir?

Cevap: 12 bin bakteri/saat

Cevap

Bakteri popülasyonunun [1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte 12 bin bakteridir.
Verilen iki farklı zaman aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözülerek modelin katsayıları olan a=4a = 4 ve b=2b = 2 değerlerine ulaşılır. Sonrasında istenen [1,3][1, 3] aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında sonucun 1212 olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
[0,2][0, 2] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.
a(b2−1)=12a(b^2 - 1) = 12 elde edilir.
Ortalama değişim hızı formülü P(b)−P(a)b−a\frac{P(b) - P(a)}{b - a} şeklindedir. [0,2][0, 2] aralığı için P(2)−P(0)2−0=6\frac{P(2) - P(0)}{2 - 0} = 6 eşitliği kullanılır.
2
[2,4][2, 4] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.
a⋅b2(b2−1)=48a \cdot b^2(b^2 - 1) = 48 elde edilir.
[2,4][2, 4] aralığı için ortalama değişim hızı P(4)−P(2)4−2=24\frac{P(4) - P(2)}{4 - 2} = 24 olarak verilmiştir.
3
Elde edilen iki denklem birbirine oranlanarak bb taban değeri çözülür.
b2=4b^2 = 4 ve b>1b > 1 koşuluyla b=2b = 2 bulunur.
Her iki denklemde ortak olan a(b2−1)a(b^2 - 1) terimlerini sadeleştirmek için bölme işlemi yapılır.
4
b=2b = 2 değeri ilk denklemde yerine yazılarak aa katsayısı bulunur.
a=4a = 4 bulunur.
a(22−1)=12⇒3a=12⇒a=4a(2^2 - 1) = 12 \Rightarrow 3a = 12 \Rightarrow a = 4 elde edilir.
5
[1,3][1, 3] zaman aralığındaki ortalama değişim hızı formülü kurularak hesaplama tamamlanır.
Ortalama değişim hızı 1212 olarak hesaplanır.
P(3)−P(1)3−1=4(23−2)2=12\frac{P(3) - P(1)}{3 - 1} = \frac{4(2^3 - 2)}{2} = 12 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralıktaki değişim miktarının bağımsız değişkendeki değişime oranıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Ortalama Değişim Hızı

Bu konudan daha fazla soru