Ortalama Değişim Hızı Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Soru 1Soru →

f(x) = x^2 + 2x

fonksiyonunun

[1, 4]

aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

3

7

9

21

-7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $7$

Cevap

Ortalama değişim hızı

7

olarak bulunur.

Ortalama değişim hızı formülü

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

şeklindedir.

[1, 4]

aralığı için

f(4) = 24

ve

f(1) = 3

değerleri formülde yerine yazıldığında

\frac{24 - 3}{4 - 1} = \frac{21}{3} = 7

değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1

Sınır noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplama

f(1) = 3

ve

f(4) = 24

Ortalama değişim hızı formülünde kullanılacak

f(a)

ve

f(b)

değerlerini bulmak için

2

Ortalama değişim hızı formülünü uygulama

\frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} = \frac{24 - 3}{3} = 7

Belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızını bulmak için

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun verilen bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkının aralık genişliğine oranıdır.

Soru 2Soru →

Bir biyoloji laboratuvarında incelenen bakteri popülasyonunun $t$ . saatteki sayısının (bin adet olarak) zamana göre değişimi $P(t) = a \cdot b^t + c$ fonksiyonu ile modellenmektedir (burada $a$ , $b$ ve $c$ birer gerçek sayı olup $b > 1$ ve $a > 0$ 'dır).

Bu modelde bakteri popülasyonunun;
- İlk 2 saatteki ( $[0, 2]$ zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte $6$ bin bakteri,
- 2. saat ile 4. saat arasındaki ( $[2, 4]$ zaman aralığındaki) ortalama değişim hızı saatte $24$ bin bakteridir.

Buna göre, bu bakteri popülasyonunun $[1, 3]$ zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte kaç bin bakteridir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Bakteri popülasyonunun

[1, 3]

zaman aralığındaki ortalama değişim hızı saatte 12 bin bakteridir.

Verilen iki farklı zaman aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözülerek modelin katsayıları olan

a = 4

ve

b = 2

değerlerine ulaşılır. Sonrasında istenen

[1, 3]

aralığı için ortalama değişim hızı formülü uygulandığında sonucun

12

olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1

[0, 2]

zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.

a(b^2 - 1) = 12

elde edilir.

Ortalama değişim hızı formülü

\frac{P(b) - P(a)}{b - a}

şeklindedir.

[0, 2]

aralığı için

\frac{P(2) - P(0)}{2 - 0} = 6

eşitliği kullanılır.

2

[2, 4]

zaman aralığındaki ortalama değişim hızı tanımlanır ve denklem oluşturulur.

a \cdot b^2(b^2 - 1) = 48

elde edilir.

[2, 4]

aralığı için ortalama değişim hızı

\frac{P(4) - P(2)}{4 - 2} = 24

olarak verilmiştir.

3

Elde edilen iki denklem birbirine oranlanarak

b

taban değeri çözülür.

b^2 = 4

ve

b > 1

koşuluyla

b = 2

bulunur.

Her iki denklemde ortak olan

a(b^2 - 1)

terimlerini sadeleştirmek için bölme işlemi yapılır.

4

b = 2

değeri ilk denklemde yerine yazılarak

a

katsayısı bulunur.

a = 4

bulunur.

a(2^2 - 1) = 12 \Rightarrow 3a = 12 \Rightarrow a = 4

elde edilir.

5

[1, 3]

zaman aralığındaki ortalama değişim hızı formülü kurularak hesaplama tamamlanır.

Ortalama değişim hızı

12

olarak hesaplanır.

\frac{P(3) - P(1)}{3 - 1} = \frac{4(2^3 - 2)}{2} = 12

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralıktaki değişim miktarının bağımsız değişkendeki değişime oranıdır.

Soru 3Soru →

f(x) = x^2 + 1

fonksiyonunun

[2, 5]

kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı

7

'dir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.

Ortalama değişim hızı formülü uygulandığında pay kısmında

f(5) - f(2) = 21

, payda kısmında

5 - 2 = 3

elde edilir. Bu değerlerin oranı olan

21 / 3 = 7

sayısı ifadedeki değerle birebir uyuşmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

[2, 5]

aralığının sınır değerleri olan

x = 2

ve

x = 5

değerleri için fonksiyonun aldığı değerler hesaplanır.

f(2) = 2^2 + 1 = 5

ve

f(5) = 5^2 + 1 = 26

bulunur.

Ortalama değişim hızı formülünün pay kısmındaki terimleri elde etmek amacıyla.

2

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

ortalama değişim hızı formülü verilen aralık için uygulanır.

\frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{26 - 5}{5 - 2} = \frac{21}{3} = 7

olarak bulunur.

Fonksiyonun belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızını tespit etmek amacıyla.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı, bu aralığın uç noktalarından geçen kesen doğrusunun eğimine eşittir ve

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

bağıntısıyla hesaplanır.

Soru 4Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun $[1, 5]$ kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı $3$ olarak verilmiştir.

g

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

g(x) = f(2x - 1) + x^2

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $g$ fonksiyonunun $[1, 3]$ kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

5

7

8

10

11

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

g fonksiyonunun belirtilen aralıktaki ortalama değişim hızı 10'dur.

Doğru cevap olan 10 değeri, ortalama değişim hızı tanımından yola çıkılarak bulunur.

f

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığındaki hızı 3 olduğundan

f(5) - f(1) = 12

elde edilir.

g

fonksiyonunun sınır değerleri farkı

g(3) - g(1) = f(5) - f(1) + 8 = 20

olur. Bu fark aralık boyu olan 2'ye bölündüğünde ortalama değişim hızı 10 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

f

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızı formülü yaz��lır ve verilen değer yerine konur.

\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = 3 \implies f(5) - f(1) = 12

g

fonksiyonunun değişimini hesaplarken kullanılacak olan

f(5) - f(1)

farkını bulmak için.

2

g

fonksiyonunun

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı form��lü yazılır.

\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1}

İstenen aralıktaki ortalama değişim hızı tanımını uygulamak için.

3

g(3)

ve

g(1)

değerleri tanımlanan fonksiyonda yerlerine yazılarak

f

cinsinden elde edilir.

g(3) = f(2 \cdot 3 - 1) + 3^2 = f(5) + 9

g(1) = f(2 \cdot 1 - 1) + 1^2 = f(1) + 1

g

fonksiyonunun sınır değerlerini belirlemek için.

4

g(3) - g(1)

farkı hesaplanır ve

f(5) - f(1) = 12

eşitliği yerine yazıl��r.

g(3) - g(1) = (f(5) + 9) - (f(1) + 1) = f(5) - f(1) + 8 = 12 + 8 = 20

g

fonksiyonunun bu aralıktaki toplam değişim miktarını belirlemek için.

5

Toplam değişim miktarı, aralık genişliği olan

3 - 1 = 2

değerine bölünerek ortalama değişim hızı hesaplanır.

\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{20}{2} = 10

Nihai ortalama değişim hızını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

formülüyle hesaplanır.

Alternatif Yöntem

Özel bir doğrusal fonksiyon seçilerek modelleme yapılabilir.

f(x)

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızı

3

olduğundan

f(x) = 3x

alınabilir. Bu durumda

g(x) = 3(2x - 1) + x^2 = x^2 + 6x - 3

olur.

g(x)

'in

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı ise

\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \frac{(9 + 18 - 3) - (1 + 6 - 3)}{2} = \frac{24 - 4}{2} = 10

olarak hızlıca hesaplanabilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 5Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun $[1, 5]$ kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı $4$ 'tür.

g(x) = x^2 \cdot f(2x - 1)

olmak üzere, $f(1) = 2$ olduğuna göre, $g$ fonksiyonunun $[1, 3]$ kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı kaçtır?

32

40

80

82

160

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 80

Cevap

g fonksiyonunun [1, 3] kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı 80'dir.

Doğru seçenekte belirtilen değer, ortalama değişim hızı formülünün g(x) bileşke ve çarpım fonksiyonuna doğru bir şekilde uygulanmasıyla elde edilir. Öncelikle f(5) değeri 18 olarak bulunur, ardından g(3) = 162 ve g(1) = 2 değerleri hesaplanarak (162 - 2) / (3 - 1) = 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

f fonksiyonunun verilen aralıktaki ortalama değişim hızı tanımı kullanılarak f(5) değeri bulunur.

f(5) = 18

f

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = 4

olarak verilmiştir.

f(1) = 2

değeri yerine yazıldığında,

\frac{f(5) - 2}{4} = 4 \implies f(5) - 2 = 16 \implies f(5) = 18

bulunur.

2

g fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki uç noktalarındaki değerleri hesaplanır.

g(1) = 2

ve

g(3) = 162

g(x) = x^2 \cdot f(2x - 1)

kuralında uç değerler yerine yazılır:

g(1) = 1^2 \cdot f(2 \cdot 1 - 1) = 1 \cdot f(1) = 1 \cdot 2 = 2

g(3) = 3^2 \cdot f(2 \cdot 3 - 1) = 9 \cdot f(5) = 9 \cdot 18 = 162

elde edilir.

3

g fonksiyonunun [1, 3] aralığındaki ortalama değişim hızı formülü uygulanır.

80

g

fonksiyonunun

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{g(3) - g(1)}{3 - 1}

formülü ile hesaplanır. Bulunan değerler yerine yazıldığında:

\frac{162 - 2}{2} = \frac{160}{2} = 80

elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun verilen bir aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerinin farkının, bağımsız değişkenin farkına oranına eşittir.

Soru 6Soru →

Bir hareketlinin zamana ( $t$ ) bağlı konumunu gösteren $s(t)$ fonksiyonu için;

- $[1, 4]$ zaman aralığındaki ortalama değişim hızı $v_1$ ,
- $[4, 9]$ zaman aralığındaki ortalama değişim hızı $v_2$ ,
- $[1, 9]$ zaman aralığındaki ortalama değişim hızı $v_3$

olarak tanımlanmıştır.

Bu değerler arasında

3v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12

bağıntısı olduğuna göre, $v_3$ değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Ortalama değişim hızları arasındaki ilişkiden elde edilen

3v_1 + 5v_2 = 8v_3

denklemi, soruda verilen

3v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12

eşitliğinde yerine yazıldığında

v_3 = 3

olarak bulunur.

Ortalama değişim hızı formülü uygulandığında

s(4) - s(1) = 3v_1

,

s(9) - s(4) = 5v_2

ve

s(9) - s(1) = 8v_3

eşitlikleri bulunur. Değişimlerin toplamı özelliğinden dolayı

3v_1 + 5v_2 = 8v_3

yazılır. Verilen denklemde bu ifade yerine konulduğunda

8v_3 - 4v_3 = 12

denkleminden

v_3 = 3

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

v_1

,

v_2

ve

v_3

değerlerini ortalama değişim hızı tanımına göre

s(t)

cinsinden ifade edin.

v_1 = \frac{s(4) - s(1)}{3}

,

v_2 = \frac{s(9) - s(4)}{5}

ve

v_3 = \frac{s(9) - s(1)}{8}

elde edilir.

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

formülüyle hesaplanır.

2

Elde edilen ifadeleri düzenleyerek aralarındaki cebirsel ilişkiyi belirleyin.

s(4) - s(1) = 3v_1

,

s(9) - s(4) = 5v_2

ve

s(9) - s(1) = 8v_3

olur.

[1, 9]

aralığındaki toplam değişim,

[1, 4]

ve

[4, 9]

aralıklarındaki değişimlerin toplamına eşit olduğundan

(s(4) - s(1)) + (s(9) - s(4)) = s(9) - s(1)

yazılır. Buradan

3v_1 + 5v_2 = 8v_3

eşitliğine ulaşılır.

Farklı alt aralıklardaki net değişim miktarlarının toplamı, birleşik aralıktaki toplam değişime eşittir.

3

3v_1 + 5v_2 = 8v_3

ilişkisini soruda verilen denklemde yerine yazarak bilinmeyen

v_3

değerini çözün.

3v_1 + 5v_2 - 4v_3 = 12 \implies 8v_3 - 4v_3 = 12 \implies 4v_3 = 12 \implies v_3 = 3

bulunur.

Tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edip sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değişim hızı, fonksiyonun o aralıktaki değişim miktarının aralık uzunluğuna oranıdır.

Soru 7Soru →

Bir su deposundaki suyun hacminin (

V

, litre) zamana (

t

, saat) göre değişimi

V(t) = -t^2 + 10t + 50

fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu depodaki su hacminin

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı

v_1

,

[3, 6]

aralığındaki ortalama değişim hızı

v_2

olduğuna göre,

v_1 - v_2

farkı kaçtır?

-5

3

4

5

7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Değişim hızlarının farkı olan 5

Ortalama değişim hızı formülü olan

\frac{V(b) - V(a)}{b - a}

ifadesi

[1, 3]

ve

[3, 6]

aralıkları için sırasıyla uygulandığında

v_1 = 6

ve

v_2 = 1

değerleri elde edilir. Bu iki değerin farkı olan

6 - 1 = 5

doğru sonuçtur.

Adım Adım Çözüm

1

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı olan

v_1

'i hesaplamak için aralığın uç noktalarındaki hacim değerlerini buluruz.

V(1) = -(1)^2 + 10(1) + 50 = 59

litre ve

V(3) = -(3)^2 + 10(3) + 50 = 71

litre.

Değişim hızı formülü için uç noktalardaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç vardır.

2

v_1

ortalama değişim hızını formüle göre hesaplarız.

v_1 = \frac{V(3) - V(1)}{3 - 1} = \frac{71 - 59}{2} = \frac{12}{2} = 6

L/saat.

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

formülüyle bulunur.

3

[3, 6]

aralığındaki ortalama değişim hızı olan

v_2

'yi hesaplamak için

t = 6

anındaki hacim değerini buluruz.

V(6) = -(6)^2 + 10(6) + 50 = -36 + 60 + 50 = 74

litre.

İkinci aralığın bitiş noktasındaki fonksiyon değerini belirlemek gerekir.

4

v_2

ortalama değişim hızını formüle göre hesaplarız.

v_2 = \frac{V(6) - V(3)}{6 - 3} = \frac{74 - 71}{3} = \frac{3}{3} = 1

L/saat.

[3, 6]

aralığı için zaman farkı

6 - 3 = 3

saattir.

5

Bulunan

v_1

ve

v_2

değerlerinin farkını hesaplarız.

v_1 - v_2 = 6 - 1 = 5

.

Soruda bizden istenen iki değişim hızının farkıdır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı, bu aralıkta fonksiyonun aldığı değerlerin farkının, bağımsız değişkenin farkına oranıdır ve geometrik olarak grafik üzerindeki uç noktaları birleştiren kesen doğrunun eğimine eşittir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 8Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = x^2 - ax + 4

fonksiyonunun

[1, 3]

kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı ile

g(x) = x^3 - 2x^2 + 5

fonksiyonunun

[0, 2]

kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı birbirine eşittir.

Buna göre, $a$ değeri kaçtır?

2

3

4

6

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

a değeri 4'tür.

Doğru cevap 4 değeridir.

g(x) = x^3 - 2x^2 + 5

fonksiyonunun

[0, 2]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = 0

olarak bulunur.

f(x) = x^2 - ax + 4

fonksiyonunun

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı ise

\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = 4 - a

olarak elde edilir. Hızların eşitliği koşulundan

4 - a = 0

denklemi kurulur ve

a = 4

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

g(x) = x^3 - 2x^2 + 5

fonksiyonunun

[0, 2]

aralığındaki uç noktalardaki değerleri hesaplanır.

g(2) = 2^3 - 2(2^2) + 5 = 5

ve

g(0) = 5

olarak bulunur.

Ortalama değişim hızı hesaplanırken aralık uçlarındaki fonksiyon değerlerine ihtiyaç duyulur.

2

g(x)

fonksiyonunun

[0, 2]

aralığındaki ortalama değişim hızı hesaplanır.

\frac{g(2) - g(0)}{2 - 0} = \frac{5 - 5}{2} = 0

olarak bulunur.

Ortalama değişim hızı formülü olan

\frac{g(b) - g(a)}{b - a}

ifadesi uygulanır.

3

f(x) = x^2 - ax + 4

fonksiyonunun

[1, 3]

aralığındaki uç noktalardaki değerleri

a

cinsinden hesaplanır.

f(3) = 3^2 - 3a + 4 = 13 - 3a

ve

f(1) = 1^2 - a + 4 = 5 - a

olarak bulunur.

Ortalama değişim hızı formülünde kullanılmak üzere fonksiyon değerleri

a

parametresine bağlı olarak ifade edilir.

4

f(x)

fonksiyonunun

[1, 3]

aralığındaki ortalama değişim hızı

a

cinsinden hesaplanır.

\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{(13 - 3a) - (5 - a)}{2} = \frac{8 - 2a}{2} = 4 - a

olarak bulunur.

Ortalama değişim hızı formülü uygulanarak

f(x)

fonksiyonunun değişim hızı elde edilir.

5

Elde edilen iki ortalama değişim hızı birbirine eşitlenerek

a

değeri çözülür.

4 - a = 0 \implies a = 4

olarak bulunur.

Soruda her iki fonksiyonun ortalama değişim hızlarının eşit olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[a, b]

kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı, o aralıktaki değişim oranını gösterir ve

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

formülüyle hesaplanır. Geometrik olarak bu değer, fonksiyon grafiği üzerindeki

(a, f(a))

ve

(b, f(b))

noktalarından geçen kesen doğrunun eğimine eşittir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 9Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f(x) = x^2 - 4x + 5$ fonksiyonunun $[1, 5]$ kapalı aralığındaki ortalama değişim hızı, $[2, 4]$ kapalı aralığındaki ortalama değişim hızına eşittir.

Doğru

Yanlış

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur. Fonksiyonun

[1, 5]

ve

[2, 4]

kapalı aralıklarındaki ortalama değişim hızları birbirine eşit olup

2

'dir.

Verilen

f(x) = x^2 - 4x + 5

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığındaki değişim hızı

\frac{10 - 2}{4} = 2

,

[2, 4]

aralığındaki değişim hızı ise

\frac{5 - 1}{2} = 2

olarak elde edilir. Her iki aralıkta da ortalama değişim hızı

2

olduğundan ifade kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

f(x) = x^2 - 4x + 5

fonksiyonunun

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak için

f(1)

ve

f(5)

değerlerini bulup formülde yerine yazın.

f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 2

ve

f(5) = 5^2 - 4(5) + 5 = 10

olur.

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızı:

\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \frac{10 - 2}{4} = 2

bulunur.

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

formülüyle hesaplanır.

2

Aynı fonksiyonun

[2, 4]

aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak için

f(2)

ve

f(4)

değerlerini bulup formülü uygulayın.

f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 1

ve

f(4) = 4^2 - 4(4) + 5 = 5

olur.

[2, 4]

aralığındaki ortalama değişim hızı:

\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{5 - 1}{2} = 2

bulunur.

İkinci aralıktaki ortalama değişim hızını bulup birinci aralıktakiyle karşılaştırmak için bu adım gereklidir.

3

Elde edilen ortalama değişim hızı değerlerini karşılaştırın.

Her iki aralıktaki ortalama değişim hızı da

2

olarak bulunmuştur. Dolayısıyla bu iki değer birbirine eşittir.

Soru kökündeki eşitlik iddiasının doğruluğunu teyit etmek için karşılaştırma yapılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun belirli bir kapalı aralıktaki ortalama değişim hızı, o aralığın uç noktalarını birleştiren doğrunun (kirişin) eğimine eşittir ve

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

formülüyle hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 10Soru →

Bir kimya deneyinde, bir çözeltinin sıcaklığı ( $T$ , °C) zamana ( $t$ , dakika) bağlı olarak değişmektedir. Çözeltinin zamana göre s��caklık değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$t$ (dakika)	$1$	$3$	$5$	$8$
$T(t)$ (°C)	$12$	$24$	$40$	$a$

Bu çözeltinin $[1, 5]$ zaman aralı��ındaki ortalama sıcaklık değişim hızı, $[5, 8]$ zaman aralığındaki ortalama sıcaklık değişim hızına eşittir.

Buna göre, çözeltinin 8. dakikadaki sıcaklığı ( $a$ ) kaç °C'dir?

54

58

61

68

82

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 61

Cevap

Çözeltinin 8. dakikadaki sıcaklığı 61 °C'dir.

Çözeltinin

[1, 5]

zaman aralığındaki ortalama sıcaklık değişim hızı

\frac{40-12}{5-1}=7

°C/dakika olarak hesaplanır. Bu hız

[5, 8]

aralığındaki hıza eşit olduğundan,

\frac{a-40}{8-5}=7

eşitliği yazılır. Buradan

a-40=21

ve

a=61

°C bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

[1, 5]

aralığındaki ortalama değişim hızını hesaplamak

Değişim hızı

\frac{T(5) - T(1)}{5 - 1} = \frac{40 - 12}{4} = \frac{28}{4} = 7

°C/dakika olarak bulunur.

İlk aralıktaki ortalama sıcaklık artış hızın�� belirlemek için.

2

[5, 8]

aralığındaki ortalama değişim hızını

a

cinsinden ifade etmek

Değişim hızı

\frac{T(8) - T(5)}{8 - 5} = \frac{a - 40}{3}

°C/dakika olur.

Bilinmeyen sıcaklık değerini içeren aralıktaki ortalama değişim hızını modellemek için.

3

İki aralıktaki değişim hızlarını eşitleyerek

a

değerini çözmek

\frac{a - 40}{3} = 7 \implies a - 40 = 21 \implies a = 61

°C elde edilir.

Soruda verilen değişim hızlarının eşitliği bilgisini kullanarak bilinmeyen sıcaklığı bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[x_1, x_2]

aralığındaki ortalama değişim hızı, fonksiyon değerlerindeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı olan

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

formülü ile hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 11Soru →

Yüksekliği $5\text{ cm}$ olan dik dairesel silindir biçimindeki bir metal bloğun hacmi, taban yarıçapına bağlı bir fonksiyon olarak tanımlanmaktadır. Bu bloğun taban yarıçapı $2\text{ cm}$ 'den $r\text{ cm}$ 'ye ( $r > 2$ ) çıkarıldığında, hacminin taban yarıçapına göre ortalama değişim hızı $45\pi\text{ cm}^3/\text{cm}$ olmaktadır. Buna göre, son durumdaki taban yarıçapı ( $r$ ) kaç $\text{cm}$ 'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

Son durumdaki taban yarıçapı

7\text{ cm}

olarak bulunur.

Silindirin hacmi yarıçapına bağlı olarak

V(r) = 5\pi r^2

fonksiyonuyla ifade edilir. Bu fonksiyonun

[2, r]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = \frac{5\pi(r^2 - 4)}{r - 2} = 5\pi(r + 2)

olur. Bu ifadenin

45\pi

değerine eşitlenmesiyle

5\pi(r + 2) = 45\pi \implies r + 2 = 9 \implies r = 7

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Hacim fonksiyonunu taban yarıçapına bağlı olarak yazma

V(r) = 5\pi r^2

Silindirin hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımıdır (

V = \pi r^2 h

).

2

Ortalama değişim hızı denklemini kurma

\frac{V(r) - V(2)}{r - 2} = 45\pi

[2, r]

aralığındaki ortalama değişim hızı, bağımlı değişkendeki değişimin bağımsız değişkendeki değişime oranı ile bulunur.

3

Fonksiyon değerlerini formülde yerine yazıp cebirsel sadeleştirme yapma

5\pi(r + 2) = 45\pi

V(r) = 5\pi r^2

ve

V(2) = 20\pi

değerleri formüle yerleştirildiğinde pay kısmında iki kare farkı yardımıyla

(r-2)

ifadeleri birbirini sadeleştirir.

4

Elde edilen birinci dereceden denklemi

r

için çözme

r = 7

Denklemin her iki tarafı

5\pi

ile sadeleştirilerek

r + 2 = 9

eşitliği elde edilir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun

[a, b]

aralığındaki ortalama değişim hızı

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}

oranı ile hesaplanır.

Ortalama Değişim Hızı

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar