Examkin

Soru

Zorluk: ZorGeometrik Dizi ve Özellikleri

Aşağıda verilen geometrik dizi özelliklerine göre boş bırak��lan yeri uygun sayı ile doldurunuz.

Cevap:Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir (an)(a_n) geometrik dizisinin ilk nn teriminin çarpımı PnP_n olmak üzere, P5=2432P_5 = 243^2 ve P9=2712P_9 = 27^{12} eşitlikleri veriliyor. Buna göre, bu dizinin ortak çarpanı 【3】 olmalıdır.

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 3'tür.
Geometrik dizideki indis simetrisi gereği tek sayıda terimin çarpımı, ortadaki terimin terim sayısı kadar kuvvetine eşittir. Buradan P5=a35P_5 = a_3^5 ve P9=a59P_9 = a_5^9 yazılır. Verilen değerler 3'ün kuvveti cinsinden düzenlendiğinde a3=9a_3 = 9 ve a5=81a_5 = 81 bulunur. İki terim arasındaki oran a5/a3=r2=9a_5 / a_3 = r^2 = 9 olduğundan ve terimler pozitif tanımlandığından ortak çarpan r=3r = 3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk nn terim çarpımı formülünü geometrik dizinin indis simetrisi özelliğini kullanarak ifade edelim.
P5=a35P_5 = a_3^5 ve P9=a59P_9 = a_5^9 eşitlikleri elde edilir.
Geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı ortadaki terimin karesine eşittir (terim sayısı tek ise). Bu durumda 5 terim için ortadaki terim a3a_3, 9 terim için ise a5a_5 olur.
2
Verilen P5=2432P_5 = 243^2 ve P9=2712P_9 = 27^{12} değerlerini 3 tabanında yazarak a3a_3 ve a5a_5 terimlerini bulalım.
a3=9a_3 = 9 ve a5=81a_5 = 81 bulunur.
P5=(35)2=310=(32)5=95P_5 = (3^5)^2 = 3^{10} = (3^2)^5 = 9^5 olduğundan a3=9a_3 = 9 olur. P9=(33)12=336=(34)9=819P_9 = (3^3)^{12} = 3^{36} = (3^4)^9 = 81^9 olduğundan a5=81a_5 = 81 olur.
3
Geometrik dizinin terimleri arasındaki genel ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplayalım.
r=3r = 3 elde edilir.
a5=a3⋅r2  ⟹  81=9⋅r2  ⟹  r2=9a_5 = a_3 \cdot r^2 \implies 81 = 9 \cdot r^2 \implies r^2 = 9 olur. Dizinin tüm terimleri pozitif gerçel sayılardan oluştuğu için ortak çarpan pozitif olmalı, dolayısıyla r=3r = 3 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Geometrik dizide terimlerin çarpım özellikleri ve indis ilişkileri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru