Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={ax2+bx,x<12,x=1∣x2−5x+c∣,x>1f(x) = \begin{cases} a x^2 + b x, & x < 1 \\ 2, & x = 1 \\ |x^2 - 5x + c|, & x > 1 \end{cases}
fonksiyonu x=1x = 1 noktasında türevlenebilirdir.

Buna göre, c<4c < 4 olmak üzere, a−b+ca - b + c ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    -10
  2. B
    -6
  3. 2Cevap
  4. D
    6
  5. E
    10

Cevap

2
Doğru yanıt 2 değeridir. x = 1 noktasında süreklilikten a + b = 2 ve c = 2 bulunur. x = 1'in sağ komşuluğunda mutlak değerin içi negatif olduğundan fonksiyon f(x) = -x^2 + 5x - 2 olarak dışarı çıkar ve sağ türev 3 olur. Sol türev 2a + b olduğuna göre 2a + b = 3 eşitliğinden a = 1 ve b = 1 elde edilir. Böylece a - b + c = 2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x = 1 noktasındaki sürekliliğini inceleyin.
Süreklilik şartı gereği sol limit, sağ limit ve fonksiyonun o noktadaki değeri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=f(1)=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2. Buradan a+b=2a + b = 2 ve ∣c−4∣=2|c - 4| = 2 denklemleri elde edilir.
Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması zorunludur.
2
c parametresinin değerini belirleyin.
∣c−4∣=2|c - 4| = 2 denkleminden c−4=2  ⟹  c=6c - 4 = 2 \implies c = 6 veya c−4=−2  ⟹  c=2c - 4 = -2 \implies c = 2 bulunur. Soruda verilen c<4c < 4 koşulu nedeniyle c=2c = 2 olarak seçilir.
Mutlak değerli denklemin çözüm kümesindeki elemanlardan verilen tanım aralığına uygun olanı seçilmelidir.
3
Sağ ve sol türevleri hesaplayarak birbirine eşitleyin.
Sol türev: f−′(1)=2a+bf'_{-}(1) = 2a + b. Sağ türev için c=2c = 2 yazıldığında x2−5x+2x^2 - 5x + 2 ifadesi x=1x = 1 noktasında negatif olduğundan mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: f(x)=−x2+5x−2f(x) = -x^2 + 5x - 2. Buradan sağ türev f+′(1)=−2(1)+5=3f'_{+}(1) = -2(1) + 5 = 3 olur. Türevlenebilirlik için 2a+b=32a + b = 3 olmalıdır.
Sürekli bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktadaki sağ ve sol türevlerinin var ve birbirine eşit olması gerekir.
4
Elde edilen denklem sistemini çözün ve istenen ifadeyi hesaplayın.
a+b=2a + b = 2 ve 2a+b=32a + b = 3 denklemlerinden a=1a = 1 ve b=1b = 1 bulunur. Buradan a−b+c=1−1+2=2a - b + c = 1 - 1 + 2 = 2 elde edilir.
Bilinmeyen parametreler bulunduktan sonra soruda sorulan cebirsel ifadenin değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağ ve sol türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru