Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve \lim_{x \to a} f(x) = 0 koşulunu sağlayan her f fonksi… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ koşulunu sağlayan her $f$ fonksiyonu için $\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{f(x)}$ limiti her zaman mevcuttur.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade yanlıştır.

\lim_{x \to a} f(x) = 0

koşulunu sağlayan her fonksiyon için bu limit mevcut olmak zorunda değildir; fonksiyonun limit noktasında işaret değiştirmesi durumunda sağ ve sol limitler farklı çıkacağından limit mevcut olmaz.

Verilen ifade yanlıştır.

\lim_{x \to a} f(x) = 0

olduğunda

\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{f(x)}

limiti

\frac{0}{0}

belirsizliği oluşturur. Ancak bu limitin varlığı

f(x)

fonksiyonunun

x=a

noktasındaki davranışına bağlıdır. Örneğin

f(x) = x-a

gibi işaret değiştiren bir fonksiyonda sağ limit

1

iken sol limit

-1

olur. Bu durumda limit mevcut olamaz. Dolayısıyla ifadenin her zaman doğru olduğu iddiası yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

Limit tanımını ve mutlak değer özelliğini hatırlayarak sağdan ve soldan limit incelemesi yapalım.

x \to a^+

için

f(x)

pozitif değerler alıyorsa

|f(x)| = f(x)

olur ve oran

1

çıkar.

x \to a^-

için

f(x)

negatif değerler alıyorsa

|f(x)| = -f(x)

olur ve oran

-1

çıkar.

Mutlak değerli ifadelerin limitini incelerken kritik noktadaki işaret değişimleri sağ ve sol limitleri doğrudan etkiler.

Karşıt bir örnek vererek ifadenin her durumda geçerli olmadığını gösterelim.

f(x) = x - a

fonksiyonu için

\lim_{x \to a} f(x) = 0

olur. Ancak

\lim_{x \to a^+} \frac{|x-a|}{x-a} = 1

\lim_{x \to a^-} \frac{|x-a|}{x-a} = -1

olduğundan, sağ ve sol limitler eşit değildir ve limit yoktur.

Tüm fonksiyonlar için geçerli olduğu iddia edilen bir önermeyi çürütmek için tek bir karşıt örnek sunmak yeterlidir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içeren limitlerde sağdan ve soldan limit incelemesi yapılarak belirsizliğin giderilmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru