\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1} ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x - 2}{x^2 - 1}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{3}{2}$ Cevap
B
$-\frac{3}{2}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$-\frac{1}{2}$
E
$3$

Cevap

Limit değeri

\frac{3}{2}

'dir.

İfadedeki belirsizlik giderildikten sonra elde edilen

\frac{x-2}{x-1}

kesrinde limit noktasının yerine yazılmasıyla

\frac{3}{2}

değeri elde edilir. Bu nedenle doğru değer

\frac{3}{2}

'dir.

Adım Adım Çözüm

Limit noktası olan

x = -1

değeri fonksiyonda doğrudan yerine yazılarak belirsizlik durumu kontrol edilir.

Pay için

(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0

ve payda için

(-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0

elde edilir. Bu durum

\frac{0}{0}

belirsizliğidir.

Limit hesaplamalarında öncelikle doğrudan değer yazarak belirsizlik olup olmadığı tespit edilmelidir.

Pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılarak belirsizliğe yol açan ortak çarpan belirlenir.

Pay ifadesi

x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

ve payda ifadesi

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

olarak çarpanlarına ayrılır.

Belirsizliği gidermek için pay ve paydayı sıfır yapan ortak terimleri saptamak gerekir.

Sıfır değerini üreten ortak

(x + 1)

çarpanları sadeleştirilir ve kalan ifadenin limiti hesaplanır.

\lim_{x \to -1} \frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{-1 - 2}{-1 - 1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}

olarak bulunur.

Belirsizliğe yol açan ortak çarpan sadeleştikten sonra fonksiyon o noktada tanımlı hale gelir ve limit doğrudan yerine yazma yöntemiyle hesaplanabilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda rasyonel ifadeler çarpanlarına ayrılır, belirsizliğe neden olan ortak çarpanlar sadeleştirilir ve kalan ifadeden limit değeri hesaplanır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru