Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Dizi ve Özellikleri

Aşağıdaki ifadede boş bırakılan yerleri doğru değerlerle doldurunuz.

Cevap:Terimleri pozitif gerçel sayılardan oluşan bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla x−2x - 2, x+1x + 1 ve 2x+22x + 2 olduğuna göre, bu dizinin ortak çarpanı 【2】 ve xx değeri 【5】 olur.

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2, x değeri ise 5'tir.
Dizinin terimlerinin pozitif gerçel sayılar olabilmesi için x değerinin 5 olması gerekir. Bu durumda ardışık terimler 3, 6, 12 olup ortak çarpan 2'ye eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık üç terim arasındaki geometrik dizi özelliğini kurma
(x+1)2=(x−2)(2x+2)(x + 1)^2 = (x - 2)(2x + 2) denklemi elde edilir.
Bir geometrik dizide ardışık üç terimden ortadakinin karesi, diğer iki terimin çarpımına eşittir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi sadeleştirip çözme
(x+1)2=2(x−2)(x+1)  ⟹  x+1=0(x + 1)^2 = 2(x - 2)(x + 1) \implies x + 1 = 0 veya x+1=2(x−2)x + 1 = 2(x - 2) olur. Buradan x=−1x = -1 veya x=5x = 5 değerleri bulunur.
Denklemin her iki tarafında bulunan (x+1)(x + 1) ��arpanını sadeleştirmeden önce sıfıra eşitleyerek köklerden birini buluruz, ardından sadeleştirme yaparak diğer köke ulaşırız.
3
Dizi terimlerinin pozitif olma koşulunu kontrol etme ve ortak çarpanı hesaplama
x=5x = 5 için terimler 3,6,123, 6, 12 olur. Ortak çarpan ise r=63=2r = \frac{6}{3} = 2 olarak bulunur.
x=−1x = -1 değeri için dizi terimleri pozitif olamayacağından bu değer elenir. x=5x = 5 değeriyle ardışık terimlerin oranı alınarak ortak çarpan bulunur.

Anahtar Kavram

Geometrik dizinin ardışık terimleri arasındaki oran sabiti ve terimler arası ilişki formülü
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru