Bir (a_n) dizisinde a_1 = 4 ve her n \geq 1 tam sayısı için a_{n+1} = a_n + 3n - 2 indirge… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

(a_n)

dizisinde

a_1 = 4

ve her

n \geq 1

tam sayısı için

a_{n+1} = a_n + 3n - 2

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, $a_{20}$ teriminin değeri kaçtır?

Cevap: 536

Dizinin yirminci terimi 536'dır.

Verilen indirgeme bağıntısında terimler

a_{n+1} - a_n = 3n - 2

şeklinde düzenlenip

1

'den

19

'a kadar olan

n

değerleri için yazılıp toplandığında, sol tarafta

a_1

dışındaki ara terimler birbirini götürür. Sağ taraftaki aritmetik toplam

532

olarak hesaplanır ve başlangıç değeri olan

a_1 = 4

eklendiğinde doğru sonuç 536 olarak bulunur.

İndirgeme bağıntısını düzenleme ve taraf tarafa toplama hazırlığı

a_{n+1} - a_n = 3n - 2

bağıntısında

n

yerine

1

ile

19

arasındaki tam sayıları yazarız.

Teleskobik (birbirini götüren) toplam elde etmek için.

Taraf tarafa toplama işlemini gerçekleştirme

a_{20} - a_1 = \sum_{n=1}^{19} (3n - 2)

Dizinin terimlerinin birbirini sadeleştirmesiyle doğrudan

a_{20}

a_1

terimlerine ulaşmak için.

Toplam formülünü kullanarak sağ tarafı hesaplama

3 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} - 38 = 570 - 38 = 532

Ardışık sayıların toplamı ve sabit terim toplamı kurallarını uygulamak için.

a_1

değerini yerine yazarak

a_{20}

terimini bulma

a_{20} - 4 = 532 \implies a_{20} = 536

Verilen başlangıç koşulunu kullanarak bilinmeyen terimi yalnız bırakmak için.

İndirgemeli dizilerde teleskobik toplam yöntemi

Soru