Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları için g(2) = 4 g'(2) = 3 f'(2) = 5 \neşitlikleri verilmektedir. h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right) biçiminde tanımlanan h fonksiyonu için h'(2) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları için g(2) = … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

g(2) = 4

g'(2) = 3

f'(2) = 5

eşitlikleri verilmektedir.

h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right)

biçiminde tanımlanan $h$ fonksiyonu için $h'(2)$ değeri kaçtır?

A
5
B
15
C
$-\frac{5}{4}$
$\frac{5}{2}$ Cevap
E
$\frac{25}{2}$

Cevap

Beş bölü iki

Bileşke fonksiyon türevinde zincir kuralı ve içteki fonksiyon için bölümün türev kuralı eksiksiz uygulandığında

h'(2) = f'(2) \cdot \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{4}

ifadesine ulaşılır. Verilen değerler yerleştirildiğinde doğru değer beş bölü iki olur.

Adım Adım Çözüm

h(x) = f\left( \frac{g(x)}{x} \right)

fonksiyonunun türevi zincir kuralı yardımıyla yazılır.

h'(x) = f'\left( \frac{g(x)}{x} \right) \cdot \left( \frac{g(x)}{x} \right)'

elde edilir.

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken dıştaki fonksiyonun türevi alınarak içi aynen yazılır ve bu ifade içinin türevi ile çarpılır.

İçteki

\frac{g(x)}{x}

ifadesinin türevi bölümün türev kuralı kullanılarak bulunur.

\left( \frac{g(x)}{x} \right)' = \frac{g'(x) \cdot x - g(x) \cdot 1}{x^2}

olur.

İki fonksiyonun bölümünün türevi alınırken payın türevi ile paydanın çarpımından, pay ile paydanın türevinin çarpımı çıkarılır ve sonuç paydanın karesine bölünür.

x = 2

değeri türev denkleminde yerine yazılarak verilen fonksiyon ve türev değerleri yerine konur.

h'(2) = f'\left( \frac{g(2)}{2} \right) \cdot \frac{g'(2) \cdot 2 - g(2)}{2^2}

ifadesinde değerler yazıldığında

h'(2) = f'(2) \cdot \frac{3 \cdot 2 - 4}{4} = 5 \cdot \frac{2}{4} = \frac{5}{2}

bulunur.

g(2) = 4

g'(2) = 3

f'(2) = 5

bilgileri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Bileşke ve Bölüm Fonksiyonlarının Türev Kuralları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru