Tanımlı olduğu kümede f(x) = \sqrt{3x+1} fonksiyonu veriliyor. Buna göre, \lim_{h \to 0} \… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanımlı olduğu kümede

f(x) = \sqrt{3x+1}

fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,

\lim_{h \to 0} \frac{f(5+4h) - f(5-4h)}{h}

limitinin değeri kaçtır?

Cevap: 3

Limitin değeri 3 olarak bulunur.

Verilen limit ifadesi türevin limit tanımına göre düzenlendiğinde

8f'(5)

değerine karşılık gelir.

f(x) = \sqrt{3x+1}

fonksiyonunun türevi alınıp

x = 5

yazıldığında elde edilen

f'(5) = \frac{3}{8}

değeri limit ifadesinde yerine yazılırsa limitin değeri 3 bulunur.

Limit ifadesini türev tanımına benzetmek.

\lim_{h \to 0} \frac{f(5+4h) - f(5-4h)}{h} = 8f'(5)

Türevin limit tanımı gereği

\lim_{h \to 0} \frac{f(x+ah) - f(x-bh)}{h} = (a+b)f'(x)

eşitliği geçerlidir. Burada

a=4

b=4

olduğundan limit

8f'(5)

değerine eşittir.

Fonksiyonun türevini hesaplamak.

f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}

g(x) = \sqrt{u(x)}

ise

g'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

kuralı uygulanır.

x = 5

noktasındaki türev değerini bulmak.

f'(5) = \frac{3}{8}

Türev fonksiyonunda

x

yerine

5

yazıldığında

f'(5) = \frac{3}{2\sqrt{3\cdot 5+1}} = \frac{3}{2\sqrt{16}} = \frac{3}{8}

elde edilir.

Limit değerini hesaplamak.

8 \cdot \frac{3}{8} = 3

İlk adımda elde edilen

8f'(5)

ifadesinde

f'(5)

değeri yerine konur.

Türevin limit tanımı kullanılarak bir noktalı değişim oranının türev değeriyle ilişkilendirilmesi

Soru