Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları ile bir aa gerçel sayısı için lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 olduğu bilinmektedir. Buna göre, 'lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} limitinin de��eri her zaman bir gerçel sayıya eşittir.' ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Verilen ifade yanlıştır çünkü sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limitin bir gerçel sayı olması zorunlu değildir. Örneğin, pay xx ve payda x2x^2 iken sıfıra giderken bölümün limiti olan 1/x1/x limiti mevcut değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsizlik kavramını ve limitin var olma koşulunu analiz etme.
lim⁡x→af(x)=0\lim_{x \to a} f(x) = 0 ve lim⁡x→ag(x)=0\lim_{x \to a} g(x) = 0 durumu 00\frac{0}{0} belirsizliği oluşturur. Belirsizlik durumlarında limitin değeri bir gerçel sayı olabileceği gibi, limit var olmayabilir de.
Bölüm durumundaki limitlerde pay ve paydanın sıfıra gitmesi, limitin kesinlikle var olduğunu veya gerçel sayı olduğunu garanti etmez.
2
İfadeyi çürüten bir karşı örnek (karşıt örnek) bulma.
f(x)=xf(x) = x ve g(x)=x2g(x) = x^2 fonksiyonlarını seçelim. a=0a = 0 olsun. Bu durumda lim⁡x→0x=0\lim_{x \to 0} x = 0 ve lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0 olur.
Önermenin her zaman doğru olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir.
3
Seçilen fonksiyonlar için limitin değerini hesaplama.
lim⁡x→0f(x)g(x)=lim⁡x→0xx2=lim⁡x→01x\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} limiti elde edilir. xx, 00'a sağdan yaklaşırken limit +∞+\infty, soldan yaklaşırken −∞-\infty olur. Dolayısıyla limit bir gerçel sayıya eşit değildir (limit yoktur).
Karşı örnekteki limitin bir gerçel sayıya eşit olmadığını göstererek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlarız.

Anahtar Kavram

Sıfır bölü sıfır belirsizliği durumunda limitin varlığı her zaman garanti değildir; limit bir gerçel sayı olabilir, sonsuz olabilir veya hiç var olmayabilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Limitlerde Belirsizlik Durumları (0/0 Belirsizliği)

Bu konudan daha fazla soru