Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar
Dik koordinat düzleminde, bb ve cc gerçek sayılar ve c>0c > 0 olmak üzere,
f(x)=−12x2+bx+cf(x) = -\frac{1}{2}x^2 + bx + c
fonksiyonunun grafiği olan parabol xx-eksenini farklı AA ve BB noktalarında, yy-eksenini ise CC noktasında kesmektedir.

AA, BB ve CC noktalarından geçen çember, yy-eksenini CC noktasından farklı bir DD noktasında daha kesmektedir.

CC ve DD noktaları arasındaki uzaklık 99 birim ve köşe noktaları AA, BB ve DD olan üçgenin alanı 1212 birimkare olduğuna göre, b2b^2 değeri kaçtır?

Cevap: 22

Cevap

Doğru yanıt 22'dir.
Çemberde kuvvet özelliği gereği, dik koordinat sisteminde eksenleri kesen çemberin kesim noktalarının koordinatları arasında x1x2=y1y2x_1 x_2 = y_1 y_2 bağıntısı vardır. Buradan ikinci kesim noktası D(0,−2)D(0, -2) bulunur. Uzaklık bağıntısından c=7c = 7 ve alan bağıntısından kökler farkı ∣x1−x2∣=12|x_1 - x_2| = 12 elde edilerek ikinci dereceden denklemin diskriminant bağıntısı çözüldüğünde b2=22b^2 = 22 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını belirlemek ve kök ilişkilerini yazmak.
C(0,c)C(0, c) noktası yy-eksenini kestiği noktadır. A(x1,0)A(x_1, 0) ve B(x2,0)B(x_2, 0) ise xx-eksenini kestiği noktalardır. Bu noktalar −12x2+bx+c=0  ⟹  x2−2bx−2c=0-\frac{1}{2}x^2 + bx + c = 0 \implies x^2 - 2bx - 2c = 0 denkleminin kökleridir. Buradan kökler çarpımı x1x2=−2cx_1 x_2 = -2c olur.
Parabolün eksenleri kestiği noktaların çember denklemiyle olan ilişkisini kurabilmek için.
2
Çemberin eksenleri kestiği noktalar arasındaki geometrik bağıntıyı (kuvvet teoremini) uygulamak.
A,B,CA, B, C noktalarından geçen çemberin yy-eksenini kestiği diğer nokta D(0,d)D(0, d) olsun. Çemberin eksenleri kestiği noktalar için x1x2=c⋅dx_1 x_2 = c \cdot d eşitliği geçerlidir. Buradan −2c=c⋅d-2c = c \cdot d ve c>0c > 0 olduğu için d=−2d = -2 elde edilir. DD noktası (0,−2)(0, -2) olarak bulunur.
Çemberin yy-eksenini kestiği ikinci noktanın koordinatını bulmak için.
3
CC ve DD noktaları arasındaki uzaklığı kullanarak cc parametresini hesaplamak.
C(0,c)C(0, c) ve D(0,−2)D(0, -2) noktaları arasındaki uzaklık ∣c−(−2)∣=c+2|c - (-2)| = c + 2 birimdir. c+2=9  ⟹  c=7c + 2 = 9 \implies c = 7 olarak bulunur.
Parabolün sabit terimi olan cc değerini netleştirmek için.
4
Üçgenin alan bilgisini kullanarak kökler arasındaki mesafeyi bulmak.
ABDABD üçgeninin tabanı xx-ekseni üzerindeki ABAB doğru parçası olup uzunluğu ∣x1−x2∣|x_1 - x_2| birimdir. Bu tabana ait yükseklik ise D(0,−2)D(0, -2) noktasının xx-eksenine uzaklığı olan 22 birimdir. Alan(ABD)=12⋅∣x1−x2∣⋅2=12  ⟹  ∣x1−x2∣=12\text{Alan}(ABD) = \frac{1}{2} \cdot |x_1 - x_2| \cdot 2 = 12 \implies |x_1 - x_2| = 12 olur.
xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklığı bulmak için.
5
Kökler farkı formülünü kullanarak b2b^2 değerini çekmek.
c=7c = 7 için denklemimiz x2−2bx−14=0x^2 - 2bx - 14 = 0 olur. Kökler farkı ∣x1−x2∣=Δ∣a∣=(−2b)2−4(1)(−14)=4b2+56=2b2+14|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \sqrt{(-2b)^2 - 4(1)(-14)} = \sqrt{4b^2 + 56} = 2\sqrt{b^2 + 14} şeklindedir. 2b2+14=12  ⟹  b2+14=6  ⟹  b2+14=36  ⟹  b2=222\sqrt{b^2 + 14} = 12 \implies \sqrt{b^2 + 14} = 6 \implies b^2 + 14 = 36 \implies b^2 = 22 elde edilir.
Kökler farkı ile denklem katsayıları arasındaki ilişkiyi kurarak bilinmeyen b2b^2 değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktalar ile ikinci dereceden denklemlerin kök-katsayı ilişkilerinin ve çemberde kuvvet özelliğinin bir arada kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru