Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir ff ve gg fonksiyonları için
f(x)=∫(6x2−4x) dxf(x) = \int (6x^2 - 4x) \, dx
g(x)=∫(2x⋅f(x)+x2⋅f′(x))dxg(x) = \int \left( 2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) \right) dx
eşitlikleri veriliyor.

f(1)=3f(1) = 3 ve g(0)=2g(0) = 2 olduğuna göre, g(−1)g(-1) değeri kaçtır?

  1. A
    -4
  2. B
    -2
  3. 1Cevap
  4. D
    -1
  5. E
    3

Cevap

1
Doğru seçenekte belirtilen değer, integral alma kuralları ve çarpım türevi özellikleri kullanılarak adım adım yapılan çözüme uygundur. İlk fonksiyondan f(−1)=−1f(-1) = -1 ve ikinci integralden g(x)=x2⋅f(x)+2g(x) = x^2 \cdot f(x) + 2 bağıntısı elde edilir. Buradan g(−1)=1g(-1) = 1 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunu bulmak için integral alma kuralı uygulanır.
f(x)=2x3−2x2+C1f(x) = 2x^3 - 2x^2 + C_1
Belirsiz integral alma kuralları gereğince, dereceler bir artırılıp yeni dereceye bölünerek integral hesaplanır.
2
f(1) = 3 sınır şartı kullanılarak C_1 integral sabiti hesaplanır.
C1=3C_1 = 3 ve f(x)=2x3−2x2+3f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3
f(1)=2(1)3−2(1)2+C1=3f(1) = 2(1)^3 - 2(1)^2 + C_1 = 3 eşitliğinden C1=3C_1 = 3 bulunur.
3
Bir sonraki adımda kullanılmak üzere f(-1) değeri hesaplanır.
f(−1)=−1f(-1) = -1
f(−1)=2(−1)3−2(−1)2+3=−2−2+3=−1f(-1) = 2(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3 = -2 - 2 + 3 = -1 elde edilir.
4
g(x) fonksiyonunun integralindeki ifade, çarpımın türevi kuralı kullanılarak sadeleştirilir.
g(x)=x2⋅f(x)+C2g(x) = x^2 \cdot f(x) + C_2
2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)2x \cdot f(x) + x^2 \cdot f'(x) ifadesi, x2⋅f(x)x^2 \cdot f(x) ifadesinin türevidir. Dolayısıyla bu ifadenin integrali kendisini verir.
5
g(0) = 2 sınır şartı kullanılarak C_2 integral sabiti hesaplanır.
C2=2C_2 = 2 ve g(x)=x2⋅f(x)+2g(x) = x^2 \cdot f(x) + 2
g(0)=02⋅f(0)+C2=2g(0) = 0^2 \cdot f(0) + C_2 = 2 eşitliğinden C2=2C_2 = 2 bulunur.
6
g(-1) değeri hesaplanır.
g(−1)=1g(-1) = 1
g(−1)=(−1)2⋅f(−1)+2=1⋅(−1)+2=1g(-1) = (-1)^2 \cdot f(-1) + 2 = 1 \cdot (-1) + 2 = 1 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları, türev-integral ilişkisi ve çarpımın türevi yardımıyla integral hesabı.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru