Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonunun türevi her xx gerçel sayısı için
f′(x)=3x2−2x+af'(x) = 3x^2 - 2x + a
eşitliğini sağlamaktadır.

f(1)=4f(1) = 4 ve f(2)=11f(2) = 11 olduğuna göre, f(0)f(0) değeri kaçtır?

  1. A
    -1
  2. B
    0
  3. 1Cevap
  4. D
    2
  5. E
    3

Cevap

İntegral alma kuralları uygulanarak elde edilen fonksiyonun sabit terimi olan 1
Türev fonksiyonunun belirsiz integrali doğru bir şekilde alınıp integral sabiti eklendikten sonra, sınır koşullarıyla oluşturulan denklem sistemi çözülmüş ve fonksiyonun sabit terimi olan integral sabiti 1 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen türev fonksiyonunun belirsiz integralini alarak fonksiyonun genel ifadesini olu��turun.
f(x)=∫f′(x) dx=∫(3x2−2x+a) dx=x3−x2+ax+Cf(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 - 2x + a) \, dx = x^3 - x^2 + ax + C (burada CC integral sabitidir)
Türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini elde etmek için belirsiz integral alma kuralı uygulanır.
2
Verilen sınır koşullarını fonksiyonda yerine yazarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturun.
f(1)=13−12+a(1)+C=4  ⟹  a+C=4f(1) = 1^3 - 1^2 + a(1) + C = 4 \implies a + C = 4 ve f(2)=23−22+a(2)+C=11  ⟹  4+2a+C=11  ⟹  2a+C=7f(2) = 2^3 - 2^2 + a(2) + C = 11 \implies 4 + 2a + C = 11 \implies 2a + C = 7
Fonksiyondaki bilinmeyen parametreyi ve integral sabitini belirlemek için bilinen noktalar kullanılır.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek bilinmeyenleri bulun.
2a+C=72a + C = 7 denkleminden a+C=4a + C = 4 denklemi taraf tarafa çıkarıldığında a=3a = 3 bulunur. Bu değer ilk denklemde yerine yazıldığında 3+C=4  ⟹  C=13 + C = 4 \implies C = 1 elde edilir.
Doğrusal denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülerek parametre değerlerine ulaşılır.
4
f(0)f(0) değerini hesaplayın.
f(x)=x3−x2+3x+1f(x) = x^3 - x^2 + 3x + 1 olduğundan f(0)=03−02+3(0)+1=1f(0) = 0^3 - 0^2 + 3(0) + 1 = 1 bulunur.
f(0)f(0) değeri doğrudan fonksiyonun sabit terimine, yani integral sabiti olan CC değerine eşittir.

Anahtar Kavram

Belirsiz integral alma kuralları ve integral sabiti yardımıyla fonksiyon bulma
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirsiz İntegral ve İntegral Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru