Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Dizi ve Özellikleri

Pozitif terimli ve artan bir (an)(a_n) geometrik dizisi için aşağıdaki eşitlikler verilmektedir:

a2+a6=102a_2 + a_6 = 102
a2⋅a6=576a_2 \cdot a_6 = 576

Buna göre, bu dizinin ortak çarpanını ve ilk terimini bularak aşağıdaki boşlukları doldurunuz.

Cevap:Dizinin ortak çarpanı 【2】 ve ilk terimi 【3】 olur.

Cevap

Dizinin ortak çarpanı 2 ve ilk terimi 3 olarak bulunur.
Verilen toplam ve çarpım değerleri kullanılarak kurulan x2−102x+576=0x^2 - 102x + 576 = 0 denkleminin çözümüyle a2=6a_2 = 6 ve a6=96a_6 = 96 terimleri belirlenir. Bu değerler geometrik dizi formülünde yerine yazıldığında ortak çarpan 2 ve ilk terim 3 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen toplam ve çarpım eşitliklerini kullanarak a2a_2 ve a6a_6 terimlerini bulmak üzere ikinci dereceden bir denklem kuralım.
x2−102x+576=0x^2 - 102x + 576 = 0 denkleminin kökleri a2a_2 ve a6a_6 değerlerini verir.
Toplamları SS ve çarpımları PP olan iki sayı x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0 denkleminin kökleridir.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulalım.
(x−96)(x−6)=0  ⟹  x1=96(x - 96)(x - 6) = 0 \implies x_1 = 96 ve x2=6x_2 = 6 elde edilir. Dizi artan olduğundan a2=6a_2 = 6 ve a6=96a_6 = 96 olur.
Artan dizilerde indis büyüdükçe terimlerin değeri de artar, bu nedenle a2<a6a_2 < a_6 olmalıdır.
3
Geometrik dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi kullanarak ortak çarpanı (rr) hesaplayalım.
a6=a2⋅r4  ⟹  96=6⋅r4  ⟹  r4=16  ⟹  r=2a_6 = a_2 \cdot r^4 \implies 96 = 6 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 \implies r = 2 bulunur.
Dizinin terimleri pozitif olduğundan ortak çarpan pozitif olmalıdır (r>0r > 0).
4
İlk terim olan a1a_1 değerini bulalım.
a2=a1⋅r  ⟹  6=a1⋅2  ⟹  a1=3a_2 = a_1 \cdot r \implies 6 = a_1 \cdot 2 \implies a_1 = 3 elde edilir.
Geometrik dizide her terim, bir önceki terimin ortak çarpanla çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Bir geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} olup, dizinin herhangi iki terimi arasındaki ilişki an=ak⋅rn−ka_n = a_k \cdot r^{n-k} formülü ile ifade edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dizi ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru