Gerçel sayılar kümesinin x = -1 dışındaki tüm noktalarında türevlenebilir f fonksiyonu, f(… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesinin $x = -1$ dışındaki tüm noktalarında türevlenebilir $f$ fonksiyonu,

f(x) = \frac{x^2 - f'(2) \cdot x - 42}{x + 1}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f'(1)$ değeri kaçtır?

Bölümün türevi kuralı uygulanarak fonksiyonun türevi alınır,

f'(2)

sabiti bulunur ve ardından

f'(1) = 10

olarak hesaplanır.

Türev kuralı gereğince

f'(2) = 5

sabiti bulunur. Bu değer yerine yazıldığında elde edilen türev fonksiyonunda

x = 1

yazıldığında sonuç 10 olmaktadır.

Türev ifadesindeki

f'(2)

değerini sabit bir sayı olarak belirlemek üzere

f'(2) = k

dönüşümü yapılır.

f(x) = \frac{x^2 - kx - 42}{x + 1}

fonksiyonu elde edilir.

Türev alma işlemi sırasında bilinmeyen türev değerini bir sabit parametre gibi yönetebilmek için.

Elde edilen fonksiyonun türevini almak için bölümün türevi kuralı uygulanır.

f'(x) = \frac{(2x - k)(x + 1) - (x^2 - kx - 42) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - k + 42}{(x + 1)^2}

türev fonksiyonu bulunur.

Bölüm durumundaki fonksiyonların türevini hesaplamak için.

f'(2) = k

eşitliğini kurmak amacıyla türev fonksiyonunda

x = 2

yazılır.

k = \frac{2^2 + 2(2) - k + 42}{(2 + 1)^2} \implies k = \frac{50 - k}{9} \implies 10k = 50 \implies k = 5

değeri bulunur.

Türev fonksiyonundaki bilinmeyen

k

sabitinin değerini bulmak için.

Bulunan

k = 5

değeri türev fonksiyonunda yerine yazılarak

f'(1)

değeri hesaplanır.

f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 37}{(x + 1)^2}

fonksiyonunda

x = 1

yazıldığında

f'(1) = \frac{1^2 + 2(1) + 37}{(1 + 1)^2} = \frac{40}{4} = 10

elde edilir.

Bizden istenen

f'(1)

değerine ulaşmak için.

Bölümün türevi kuralı ve türev değerinin parametre olarak kullanıldığı fonksiyonların çözümü.

Soru