Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Türev Alma Kuralları

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir ff fonksiyonu

f(x)={x2+ax+1,x<1bx3−2x,x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1, & x < 1 \\ bx^3 - 2x, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

g(x)=f(x2+x−1)g(x) = f(x^2 + x - 1) olduğuna göre, g′(1)g'(1) değeri kaçtır?

  1. A
    -2
  2. B
    -4
  3. -6Cevap
  4. D
    4
  5. E
    12

Cevap

-6
Doğru cevap, süreklilik ve türevlenebilirlik şartlarının her ikisi de sağlanarak f′(1)=−2f'(1) = -2 bulunduktan sonra, zincir kuralı ile g′(1)=3⋅f′(1)=−6g'(1) = 3 \cdot f'(1) = -6 olarak hesaplanan değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında türevlenebilir olması için bu noktada sürekli olması gerekir. Sol ve sağ limitleri eşitleyerek aa ve bb arasındaki ilişkiyi bulalım.
a+2=b−2  ⟹  b−a=4a + 2 = b - 2 \implies b - a = 4
Türevlenebilir her fonksiyon tanımlı olduğu noktada sürekli olmak zorundadır.
2
f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki sol ve sağ türevlerini eşitleyerek aa ve bb arasındaki ikinci ilişkiyi bulalım.
a+2=3b−2  ⟹  3b−a=4a + 2 = 3b - 2 \implies 3b - a = 4
x=1x = 1 kritik noktasında türevin var olması için sağ ve sol türevlerin birbirine eşit olması gerekir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek aa ve bb değerlerini, ardından f′(1)f'(1) değerini bulalım.
b=0b = 0, a=−4a = -4 ve f′(1)=−2f'(1) = -2
Denklemleri ortak çözdüğümüzde 2b=0  ⟹  b=02b = 0 \implies b = 0 bulunur. Buradan a=−4a = -4 elde edilir. Sol veya sağ türev fonksiyonunda yerine yazarak f′(1)=−2f'(1) = -2 bulunur.
4
g(x)=f(x2+x−1)g(x) = f(x^2 + x - 1) fonksiyonunun türevini zincir kuralı yardımıyla alıp x=1x = 1 değerini yerine yazalım.
g′(1)=3⋅f′(1)=3⋅(−2)=−6g'(1) = 3 \cdot f'(1) = 3 \cdot (-2) = -6
Bileşke fonksiyon türevi kuralına göre g′(x)=f′(x2+x−1)⋅(2x+1)g'(x) = f'(x^2 + x - 1) \cdot (2x + 1) olur. x=1x = 1 için g′(1)=f′(1)⋅3g'(1) = f'(1) \cdot 3 elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel türev alma kuralları, parçalı fonksiyonların türevlenebilirliği ve bileşke fonksiyonun türevi (zincir kuralı)
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Türev Alma Kuralları

Bu konudan daha fazla soru