Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)={cos⁡x+a,x<0x2+bx+c,x≥0f(x) = \begin{cases} \cos x + a, & x < 0 \\ x^2 + bx + c, & x \ge 0 \end{cases}
fonksiyonu her x∈Rx \in \mathbb{R} için türevlenebilir olduğuna göre, a−c+ba - c + b ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    -2
  2. -1Cevap
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. E
    2

Cevap

İstenen ifadenin değeri -1 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevlenebilir olması için sürekli olması gerektiğinden a−c=−1a - c = -1 elde edilir. Kritik noktadaki sağ ve sol türevlerin eşitliğinden ise b=0b = 0 bulunur. Bu değerler toplandığında istenen ifade −1-1 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun her x∈Rx \in \mathbb{R} için türevlenebilir olması için kritik nokta olan x=0x = 0 noktasında sürekli olması gerekir. Bu nedenle x=0x = 0 noktasındaki sağdan limit, soldan limit ve fonksiyon değeri birbirine eşitlenir.
lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)  ⟹  cos⁡(0)+a=c  ⟹  1+a=c  ⟹  a−c=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \implies \cos(0) + a = c \implies 1 + a = c \implies a - c = -1 elde edilir.
Türevlenebilir her fonksiyon tanımlı olduğu noktalarda sürekli olmak zorundadır.
2
Süreklilik sağlandıktan sonra, x=0x = 0 noktasındaki sağdan ve soldan türevler hesaplanarak birbirine eşitlenir.
x<0x < 0 için f′(x)=−sin⁡x  ⟹  f′(0−)=−sin⁡(0)=0f'(x) = -\sin x \implies f'(0^-) = -\sin(0) = 0 ve x>0x > 0 için f′(x)=2x+b  ⟹  f′(0+)=bf'(x) = 2x + b \implies f'(0^+) = b olur. Buradan sağ ve sol türevlerin eşitliğinden b=0b = 0 bulunur.
Bir fonksiyonun sürekli olduğu bir noktada türevli olması için o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin eşit olması gerekir.
3
Elde edilen a−c=−1a - c = -1 ve b=0b = 0 değerleri a−c+ba - c + b ifadesinde yerine yazılır.
a−c+b=−1+0=−1a - c + b = -1 + 0 = -1 bulunur.
Soruda bizden istenen ifadenin değerini hesaplamak için elde edilen parametre ilişkileri kullanılır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevlenebilme ve Süreklilik İlişkisi

Bu konudan daha fazla soru