Bir (a_n) geometrik dizisinin terimleri arasında \frac{a_8 \cdot a_{12}}{a_7 \cdot a_{10}} = 8 ve a_5 - a_2 = 14\neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, bu dizinin ilk terimi kaçtır?

Bir (a_n) geometrik dizisinin terimleri arasında \frac{a_8 \cdot a_{12}}{a_7 \cdot a_{10}}… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

(a_n)

geometrik dizisinin terimleri arasında

\frac{a_8 \cdot a_{12}}{a_7 \cdot a_{10}} = 8

a_5 - a_2 = 14

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin ilk terimi kaçtır?

Cevap: 1

Bu geometrik dizinin ilk terimi 1'dir.

Dizinin genel terim formülünden yola çıkarak birinci eşitliği sadeleştirdiğimizde

r^3 = 8

ve dolayısıyla ortak çarpan

r = 2

bulunur. İkinci eşitlikte terimleri

a_1

r

cinsinden yazıp ortak paranteze aldığımızda

a_1(r^4 - r) = 14

denklemini elde ederiz. Burada

r = 2

değerini yerine yazdığımızda

14a_1 = 14

eşitliğinden dizinin ilk terimi olan

a_1 = 1

olarak hesaplanır.

İlk eşitlikteki terimlerin yerine genel terim formülünü yazıp sadeleştirmek

r^3 = 8 \implies r = 2

bulunur.

Geometrik dizide her terim

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

şeklinde ifade edilebilir. Bu ifadeler oranda yerine koyulursa

\frac{a_1 r^7 \cdot a_1 r^{11}}{a_1 r^6 \cdot a_1 r^9} = \frac{a_1^2 r^{18}}{a_1^2 r^{15}} = r^3

olur.

r^3 = 8

olduğundan

r = 2

bulunur.

Bulunan

r = 2

ortak çarpanını ikinci denklemde yerine yazarak

a_1

değerini hesaplamak

14 a_1 = 14 \implies a_1 = 1

bulunur.

a_5 - a_2 = 14 \implies a_1 r^4 - a_1 r = 14 \implies a_1(2^4 - 2) = 14 \implies a_1(16 - 2) = 14

elde edilir.

Geometrik dizide genel terim formülü ve terimler arası bölme ile ortak çarpan elde etme