Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için \in… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Pozitif gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\int \frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} \, dx = 3x^2 - 4x + C

eşitliği verilmiştir.

f(1) = 2

olduğuna göre,

f(2)

değeri kaçtır?

İntegral içindeki rasyonel ifade, bölümün türevi kuralından

\frac{f(x)}{x^2}

ifadesinin türevine eşittir. Eşitliğin her iki tarafının integrali alındığında veya türev-integral ilişkisi kurulduğunda

\frac{f(x)}{x^2} = 3x^2 - 4x + K

elde edilir. Verilen

f(1) = 2

değeri yerine yazılarak integral sabiti

K = 3

olarak bulunur. Buradan fonksiyon

f(x) = 3x^4 - 4x^3 + 3x^2

şeklinde elde edilir. Bu fonksiyonda

x = 2

yazıldığında

f(2) = 28

sonucuna ulaşılır.

İntegral içindeki ifadenin türev kuralları açısından karşılığı belirlenir.

\frac{x \cdot f'(x) - 2f(x)}{x^3} = \left( \frac{f(x)}{x^2} \right)'

olduğu fark edilir.

Bölümün türevi kuralına göre

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

ifadesinde

u = f(x)

v = x^2

seçilip sadeleştirme yapıldığında bu ifade elde edilir.

Belirsiz integral alma işlemi uygulanarak iki taraf arasındaki eşitlik yazılır.

\frac{f(x)}{x^2} = 3x^2 - 4x + K

(burada

K

bir integral sabitidir) eşitliği elde edilir.

Türevi alınan bir ifadenin belirsiz integrali, o ifadenin kendisine bir sabit eklenmesiyle bulunur.

Verilen

f(1) = 2

başlangıç koşulu kullanılarak

K

sabiti hesaplanır.

x = 1 \implies \frac{f(1)}{1^2} = 3(1)^2 - 4(1) + K \implies 2 = -1 + K \implies K = 3

bulunur.

Fonksiyonun kuralını tam olarak belirlemek için verilen özel nokta değeri denklemde yerine yazılır.

f(x)

fonksiyonunun kuralı çekilir ve istenen

f(2)

değeri hesaplanır.

f(x) = x^2(3x^2 - 4x + 3) \implies f(2) = 2^2 \cdot (3(2)^2 - 4(2) + 3) = 4 \cdot (12 - 8 + 3) = 28

bulunur.

Bulunan genel fonksiyon kuralında bağımsız değişken yerine iki yazılarak sonuca ulaşılır.

Belirsiz integralin türevle ilişkisi ve bölümün türevi kuralı yardımıyla fonksiyonun yeniden oluşturulması

Soru