Examkin

Soru

Zorluk: OrtaAritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bir (an)(a_n) aritmetik dizisinin ilk nn teriminin toplamı SnS_n ile gösterilmektedir.

Bu dizide,
S6=3⋅S3S_6 = 3 · S_3
a5=12a_5 = 12

olduğuna göre, bu dizinin ilk terimi (a1a_1) kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

Dizinin ilk terimi 4'tür.
Dizinin ilk n terim toplamı formülü kullanılarak S3S_3 ve S6S_6 terimleri a1a_1 ve dd cinsinden yazıldığında, S6=3⋅S3S_6 = 3 \cdot S_3 eşitliğinden a1=2da_1 = 2d bağıntısına ulaşılır. a5=a1+4d=12a_5 = a_1 + 4d = 12 eşitliğinde bu bağıntı yerine yazıldığında d=2d = 2 ve dolayısıyla a1=4a_1 = 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk n terim toplamı formülü yardımıyla S3S_3 ve S6S_6 terimlerini a1a_1 (ilk terim) ve dd (ortak fark) cinsinden ifade etme.
S3=3a1+3dS_3 = 3a_1 + 3d ve S6=6a1+15dS_6 = 6a_1 + 15d elde edilir.
Dizinin toplam formülünü kullanarak verilen toplamlar arasındaki ilişkiyi kurmak.
2
S6=3⋅S3S_6 = 3 \cdot S_3 eşitliğini kullanarak a1a_1 ile dd arasındaki bağıntıyı bulma.
6a1+15d=3(3a1+3d)  ⟹  6a1+15d=9a1+9d  ⟹  6d=3a1  ⟹  a1=2d6a_1 + 15d = 3(3a_1 + 3d) \implies 6a_1 + 15d = 9a_1 + 9d \implies 6d = 3a_1 \implies a_1 = 2d elde edilir.
Toplamlar arasındaki orandan ilk terim ile ortak fark arasındaki doğrusal ilişkiyi belirlemek.
3
Genel terim formülüyle a5=12a_5 = 12 eşitliğini yazıp elde edilen a1=2da_1 = 2d bağıntısını yerine koyarak dd ve ardından a1a_1 değerlerini hesaplama.
a5=a1+4d  ⟹  12=2d+4d  ⟹  6d=12  ⟹  d=2a_5 = a_1 + 4d \implies 12 = 2d + 4d \implies 6d = 12 \implies d = 2 bulunur. Buradan a1=2d=2(2)=4a_1 = 2d = 2(2) = 4 elde edilir.
Bilinen bir terim yardımıyla bilinmeyen parametreleri çözüp sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizide ilk n terim toplamı formülünün uygulanması ve terimler arasındaki ilişkilerin çözülmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Aritmetik Dizide İlk n Terim Toplamı

Bu konudan daha fazla soru