İlk terimi 5 ve ortak farkı 3 olan bir (a_n) aritmetik dizisinin ilk n teriminin toplamı S… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

İlk terimi $5$ ve ortak farkı $3$ olan bir $(a_n)$ aritmetik dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n$ ile gösterilmektedir.

S_n = 258

olduğuna göre, bu dizinin $n$ . terimi ( $a_n$ ) kaçtır?

Dizinin n. terimi olan 38'dir.

Verilen toplam ve ilk terim değerleri aritmetik dizinin ilk

n

terim toplam formülünde yerine konulduğunda

3n^2 + 7n - 516 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif tam sayı kökü

n = 12

olarak bulunur. Dizinin genel terim formülünden

12

. terim hesaplandığında

a_{12} = 5 + 11 \cdot 3 = 38

sonucuna ulaşılır.

Aritmetik dizinin ilk

n

terim toplamı formülü

S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d]

ifadesinde verilen

S_n = 258

a_1 = 5

d = 3

değerlerini yerine yazmak.

258 = \frac{n}{2} [2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 3] \Rightarrow 516 = n(3n + 7) \Rightarrow 3n^2 + 7n - 516 = 0

denklemi elde edilir.

Terim sayısını (

n

) bulabilmek için ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem oluşturulması gerekir.

Elde edilen

3n^2 + 7n - 516 = 0

denklemini çarpanlarına ayırarak çözmek.

(3n + 43)(n - 12) = 0

ifadesinden

n = 12

veya

n = -\frac{43}{3}

bulunur. Terim sayısı pozitif tam sayı olmak zorunda olduğundan

n = 12

olarak alınır.

Dizilerde terim indisi ve terim sayısı daima pozitif tam sayı olmalıdır.

Dizinin genel terim formülü olan

a_n = a_1 + (n-1)d

ifadesinde

n = 12

yazarak

a_{12}

değerini hesaplamak.

a_{12} = 5 + (12-1) \cdot 3 = 5 + 33 = 38

bulunur.

Bulunan terim sayısı yardımıyla dizinin ilgili terimini elde etmek amaçlanır.

Aritmetik dizilerde ilk n terim toplamı

S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)

ve genel terim

a_n = a_1 + (n-1)d

formülleriyle hesaplanır.

Soru