Türevlenebilir f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonu ve bir C gerçel sayısı için… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Türevlenebilir

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}

fonksiyonu ve bir

C

gerçel sayısı için

\int (x + 1) \cdot f'(x) \, dx = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + C

eşitliği sağlanmaktadır.

f(1) = 3

olduğuna göre,

f(3)

değeri kaçtır?

Eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında

(x + 1) \cdot f'(x) = 3x^2 + x - 2

elde edilir. Sağ taraf çarpanlarına ayrıldığında

(x+1)(3x-2)

elde edileceğinden,

f'(x) = 3x - 2

olur. Bu ifadenin integrali alındığında

f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C_1

bulunur.

f(1) = 3

koşuluyla

C_1 = \frac{7}{2}

olarak hesaplanır. Buradan

f(3) = \frac{3}{2}(9) - 2(3) + \frac{7}{2} = 11

olarak elde edilir.

Eşitliğin her iki tarafının x değişkenine göre türevi alınır.

(x + 1) \cdot f'(x) = 3x^2 + x - 2

Belirsiz integralin t��revi, integralin içindeki fonksiyona eşittir.

3x^2 + x - 2

ifadesi çarpanlarına ayrılır ve her iki taraf

x + 1

ile sadeleştirilir.

f'(x) = 3x - 2

3x^2 + x - 2 = (3x - 2)(x + 1)

olduğundan,

x \neq -1

için

f'(x)

yalnız bırakılır.

f'(x)

fonksiyonunun belirsiz integrali alınarak

f(x)

elde edilir.

f(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2x + C_1

Türevi verilen bir fonksiyonun kendisini bulmak için belirsiz integral alma kuralları uygulanır.

f(1) = 3

eşitliği kullanılarak

C_1

integral sabiti hesaplanır.

C_1 = \frac{7}{2}

f(1) = \frac{3}{2}(1)^2 - 2(1) + C_1 = 3 \implies C_1 = \frac{7}{2}

elde edilir.

f(x)

fonksiyonunda

x = 3

yazılarak sonuç hesaplanır.

f(3) = 11

f(3) = \frac{3}{2}(3)^2 - 2(3) + \frac{7}{2} = \frac{27}{2} - 6 + \frac{7}{2} = 11

bulunur.

Belirsiz integral ile türev arasındaki ilişki ve integral alma kuralları kullanılarak fonksiyonun kendisinin elde edilmesi.

Soru