Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonunun türevi her x gerçel… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonunun türevi her

x

gerçel sayısı için

f'(x) = \frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 - x + 1}

eşitliğini sağlamaktadır.

f(0) = 1

olduğuna göre,

f(3)

değeri kaçtır?

\frac{35}{2}

Verilen türev fonksiyonu sadeleştirildiğinde

f'(x) = x^2 + x + 1

elde edilir. Bu ifadenin belirsiz integrali alındığında

f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C

bulunur.

f(0) = 1

koşuluyla integral sabiti

C = 1

olarak belirlenir. Fonksiyonda

x = 3

yazıldığında

f(3) = \frac{35}{2}

sonucu elde edilir.

f'(x)

ifadesini sadeleştirmek için pay kısmındaki ifadeyi çarpanlarına ayırırız.

f'(x) = x^2 + x + 1

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)

özdeşliği kullanılarak payda ile sadeleştirme yapılır.

Türevi verilen fonksiyonun belirsiz integralini alarak genel

f(x)

fonksiyonunu elde ederiz.

f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C

İntegral alma kuralları (

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

) uygulanır.

f(0) = 1

başlangıç koşulunu kullanarak integral sabitini (

C

) buluruz.

C = 1

f(0)

değeri fonksiyon ifadesinde yerine yazılarak

C

yalnız bırakılır.

Elde edilen

f(x)

fonksiyonunda

x = 3

yazarak

f(3)

değerini hesaplarız.

f(3) = \frac{35}{2}

f(3) = 9 + \frac{9}{2} + 3 + 1

işlemi gerçekleştirilir.

Belirsiz integral alma kuralları ve cebirsel sadeleştirme yardımıyla fonksiyonun kendisini elde etme.

Soru