Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x+af(x) = x^2 - 2x + a parabolü koordinat eksenlerini A(x1,0)A(x_1, 0), B(x2,0)B(x_2, 0) ve C(0,y0)C(0, y_0) noktalarında kesmektedir.

x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olmak üzere, AA ve BB noktalarının orijine olan uzaklıkları toplamı, CC noktasının orijine olan uzaklığının 34\frac{3}{4}’üne eşittir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

  1. -8Cevap
  2. B
    -6
  3. C
    -3
  4. D
    4
  5. E
    8

Cevap

-8 değeri
Parabolün y-eksenini kestiği noktanın ordinatı aa’dır. Köklerden biri negatif, diğeri pozitif olduğu için kökler çarpımı olan aa değeri negatiftir. Buradan CC noktasının orijine uzaklığı −a-a olur. x-eksenini kesim noktalarının orijine uzaklıkları toplamı ise −x1+x2-x_1 + x_2’dir. İlgili oran kullanılarak (x2−x1)=−34a(x_2-x_1) = -\frac{3}{4}a yazılır. Kökler toplamının 2 olduğu bilgisiyle birlikte iki kare farkı ve tam kare ilişkilerinden yararlanılarak a=−8a = -8 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eksenleri kesim noktalarını cebirsel olarak ifade etmek
y-eksenini kestiği nokta C(0,a)C(0, a) ve x-eksenini kestiği noktalar A(x1,0)A(x_1, 0) ile B(x2,0)B(x_2, 0)’dir.
Eksenleri kestiği noktaların apsis ve ordinatlarını parabol denkleminden belirlemek amacıyla.
2
Köklerin işaretlerini ve uzaklık ilişkisini belirlemek
x1<0<x2x_1 < 0 < x_2 olduğundan kökler çarpımı x1x2=a<0x_1 x_2 = a < 0’dır. Bu durumda C(0,a)C(0, a) noktasının orijine uzaklığı ∣a∣=−a|a| = -a birimdir. AA ve BB noktalarının orijine uzaklıkları toplamı ise ∣x1∣+∣x2∣=−x1+x2|x_1| + |x_2| = -x_1 + x_2 birimdir.
Uzaklıkların mutlak değerce pozitif olması gerektiğini uygulayarak cebirsel ifadeyi doğru kurmak için.
3
Verilen oranı kullanarak köklerin farkını aa cinsinden yazmak
x2−x1=−34ax_2 - x_1 = -\frac{3}{4}a denklemi elde edilir.
Kökler farkı ile parabolün y-eksenini kestiği nokta arasındaki doğrusal bağıntıyı kurmak için.
4
Kökler toplamı ve çarpımı ilişkisini kullanarak ikinci dereceden denklem oluşturmak
x1+x2=2x_1 + x_2 = 2 ve x1x2=ax_1 x_2 = a olduğundan, (x2−x1)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 özdeşliğinden (−34a)2=22−4a⇒916a2+4a−4=0\left(-\frac{3}{4}a\right)^2 = 2^2 - 4a \Rightarrow \frac{9}{16}a^2 + 4a - 4 = 0 elde edilir.
Köklerin farkı ile toplamı ve çarpımı arasındaki özdeşlik yardımıyla aa parametresine bağlı tek değişkenli denkleme ulaşmak için.
5
Oluşan denklemi çözerek aa değerini bulmak
9a2+64a−64=0⇒(9a−8)(a+8)=09a^2 + 64a - 64 = 0 \Rightarrow (9a - 8)(a + 8) = 0 elde edilir. Buradan a=89a = \frac{8}{9} veya a=−8a = -8 bulunur. a<0a < 0 olması gerektiğinden a=−8a = -8’dir.
Denklemin köklerinden parabolün varlık koşuluna ve köklerin işaret durumuna uygun olan negatif değeri seçmek için.

Anahtar Kavram

Parabolün eksenleri kestiği noktaların ordinat ve apsis değerlerinin kök katsayı ilişkileriyle analitik olarak incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol Grafiği ve Eksenleri Kestiği Noktalar

Bu konudan daha fazla soru