Ortak ��arpanı 1'den büyük ve tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olan bir (a_n) geometri… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Ortak ��arpanı

1

'den büyük ve tüm terimleri pozitif gerçel sayılar olan bir

(a_n)

geometrik dizisi için,

a_4 \cdot a_{10} = 36

a_5 + a_9 = 15

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, bu dizinin $13$ . terimi olan $a_{13}$ kaçtır?

Dizinin 13. terimi olan

a_{13}

değeri 48'dir.

Verilen

a_4 \cdot a_{10} = 36

eşitliğinden

a_7^2 = 36 \implies a_7 = 6

bulunur. Buradan

a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36

a_5 + a_9 = 15

denklemleri çözüldüğünde, ortak çarpanı 1'den büyük olan bu artan dizi için

a_5 = 3

a_9 = 12

olarak bulunur.

a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies r^4 = 4

olur. Dizinin 13. terimi

a_{13} = a_9 \cdot r^4 = 12 \cdot 4 = 48

olarak hesaplanır.

Geometrik dizinin terimleri arasındaki indis ilişkisini kullanarak

a_7

terimini bulun.

a_7 = 6

Geometrik dizide indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımları birbirine eşittir:

a_4 \cdot a_{10} = a_7^2 = 36

. Dizi pozitif terimli olduğundan

a_7 = 6

olur.

a_5 \cdot a_9

çarpımını

a_7

cinsinden yazın.

a_5 \cdot a_9 = 36

5 + 9 = 7 + 7

olduğundan geometrik dizinin özelliğinden

a_5 \cdot a_9 = a_7^2 = 36

elde edilir.

Verilen toplam ve çarpım bilgilerini kullanarak

a_5

a_9

terimlerini belirleyin.

a_5 = 3

a_9 = 12

Toplamları 15 ve çarpımları 36 olan sayılar 3 ve 12'dir. Ortak çarpan

1

'den büyük olduğundan dizi artandır, dolayısıyla küçük indisli terim olan

a_5 = 3

ve büyük indisli terim olan

a_9 = 12

olmalıdır.

Dizinin ortak çarpanının dördüncü kuvvetini (

r^4

) bulun.

r^4 = 4

a_9 = a_5 \cdot r^4 \implies 12 = 3 \cdot r^4 \implies r^4 = 4

olarak bulunur.

a_{13}

terimini ortak çarpan yardımıyla hesaplayın.

a_{13} = 48

a_{13} = a_9 \cdot r^4

bağıntısından

a_{13} = 12 \cdot 4 = 48

elde edilir.

Geometrik dizilerde indisler toplamı eşit olan terimlerin çarpımlarının eşitliği ve terimler arası ilişkiler

Soru