Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,
lim⁡x→2cos⁡(πx)+acos⁡(π2x)+bsin⁡2(π2x)=3\lim_{x \to 2} \frac{\cos(\pi x) + a\cos\left(\frac{\pi}{2} x\right) + b}{\sin^2\left(\frac{\pi}{2} x\right)} = 3
eşitliği veriliyor. Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
  1. 19Cevap
  2. B
    21
  3. C
    13
  4. D
    -1
  5. E
    -5

Cevap

19
Limitin varlığı için pay ve paydanın 0/0 belirsizliği oluşturması gerekir. Buradan b = a - 1 bağıntısı elde edilir. Trigonometrik özdeşlikler kullanılıp belirsizlik sadeleştirildiğinde limit değeri (a - 4) / 2 olarak bulunur. Bu değer 3'e eşitlendiğinde a = 10 ve dolayısıyla b = 9 bulunur. Toplamları 19 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Payın limitinin 0 olması koşulunu belirleme
b = a - 1
x = 2 için paydanın limiti 0 olduğundan, limitin bir gerçel sayıya eşit olabilmesi için payın limitinin de 0 olması (0/0 belirsizliği) gerekir. cos(2*pi) + a*cos(pi) + b = 0 bağıntısından 1 - a + b = 0 elde edilir.
2
Yarım açı formülü ve değişken değiştirme uygulama
((t + 1)(2t - 2 + a)) / (1 - t^2)
cos(pi*x) = 2*cos^2(pi*x/2) - 1 ve sin^2(pi*x/2) = 1 - cos^2(pi*x/2) özdeşlikleri kullanılır. t = cos(pi*x/2) değişken değiştirmesi yapıldığında, x -> 2 iken t -> -1 olur. b = a - 1 yerine yazıldığında pay ifadesi 2t^2 + at + a - 2 = (t + 1)(2t - 2 + a) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
3
Belirsizliği giderme ve limiti hesaplama
a = 10
Pay ve paydadaki (t + 1) terimleri sadeleştirilerek belirsizlik giderilir. Kalan ifadenin t -> -1 iken limiti (a - 4) / 2 olur. Bu değer 3'e eşitlenerek a = 10 bulunur.
4
b değerini ve toplamı bulma
a + b = 19
b = a - 1 olduğundan b = 9 bulunur. Buradan a + b = 10 + 9 = 19 elde edilir.

Anahtar Kavram

0/0 belirsizliği durumunda trigonometrik özdeşlikler ve çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılarak limit hesaplama
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Limit Özellikleri ve Limit Hesaplama Teknikleri

Bu konudan daha fazla soru