Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Birim çember üzerinde, üçüncü bölgede yer alan bir P(a,b)P(a, b) noktası, başlangıç kenarı pozitif xx-ekseni olan θ\theta yönlü açısının bitiş kenarı üzerindedir.

θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)

olmak üzere, tan⁡θ−cot⁡θ=15\tan\theta - \cot\theta = 1{}5 eşitliği sağlandığına göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevap: 0.4

Cevap

P(a, b) noktasının koordinatları çarpımı olan a ve b değerlerinin çarpımı 0,4 olarak elde edilir.
Birim çember tanımına göre çember üzerindeki her P(a,b)P(a,b) noktası için a2+b2=1a^2+b^2=1 ilişkisi geçerlidir. Ayrıca bu koordinatlar a=cos⁡θa=\cos\theta ve b=sin⁡θb=\sin\theta değerlerine karşılık gelir. Verilen denklemin çözümünden elde edilen tan⁡θ=2\tan\theta = 2 değeri, koordinatlar arasında b=2ab = 2a bağıntısını kurmamızı sağlar. Üçüncü bölgede her iki koordinat da negatif olduğundan a=−1/5a = -1/\sqrt{5} ve b=−2/5b = -2/\sqrt{5} bulunur. Bu iki değerin çarpımı ise 0,40,4 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde cot⁡θ=1tan⁡θ\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} özdeşliğini yerine yazarak denklemi tek bir değişken cinsinden düzenleyin.
tan⁡θ−1tan⁡θ=32\tan\theta - \frac{1}{\tan\theta} = \frac{3}{2} eşitliğinin her iki tarafı 2tan⁡θ2\tan\theta ile çarpılarak payda eşitlendiğinde 2tan⁡2θ−3tan⁡θ−2=02\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları arasındaki çarpmaya göre tersi olma ilişkisini kullanarak denklemi çözülebilir bir forma getirmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemin çarpanlarına ayırarak tan⁡θ\tan\theta değerini belirleyin.
2tan⁡2θ−3tan⁡θ−2=0  ⟹  (2tan⁡θ+1)(tan⁡θ−2)=02\tan^2\theta - 3\tan\theta - 2 = 0 \implies (2\tan\theta + 1)(\tan\theta - 2) = 0 denkleminin kökleri tan⁡θ=−05\tan\theta = -0{}5 ve tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olarak bulunur. θ∈(π,3π2)\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı üçüncü bölgeyi temsil ettiğinden bu bölgede tanjant fonksiyonu pozitif değer alır. Dolayısıyla tan⁡θ=2\tan\theta = 2 olmalıdır.
İkinci dereceden denklemi çözmek ve açının bulunduğu bölgeyi göz önüne alarak doğru işarete sahip kökü belirlemek.
3
Birim çember tanımını kullanarak koordinatlar arasındaki ilişkiyi kurun ve koordinatları hesaplayın.
Birim çember üzerindeki bir P(a,b)P(a, b) noktası için a=cos⁡θa = \cos\theta ve b=sin⁡θb = \sin\theta yazılabilir. Buradan tan⁡θ=ba=2  ⟹  b=2a\tan\theta = \frac{b}{a} = 2 \implies b = 2a elde edilir. Birim çember denklemi olan a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 eşitliğinde yerine yazıldığında a2+(2a)2=1  ⟹  5a2=1  ⟹  a2=15a^2 + (2a)^2 = 1 \implies 5a^2 = 1 \implies a^2 = \frac{1}{5} bulunur. Üçüncü bölgede apsis değeri negatif olduğundan a=−15a = -\frac{1}{\sqrt{5}} ve buna bağlı olarak ordinat değeri b=2a=−25b = 2a = -\frac{2}{\sqrt{5}} bulunur.
Birim çember üzerindeki noktaların koordinatlarının kareleri toplamının 1 olması kuralını ve bölgeye göre koordinatların işaretlerini uygulamak.
4
Bulunan aa ve bb koordinat değerlerini birbiriyle çarpın.
a⋅b=(−15)⋅(−25)=25=04a \cdot b = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{5} = 0{}4 bulunur.
Soruda istenen a⋅ba \cdot b çarpım değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların trigonometrik koordinat gösterimleri ile bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin belirlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Birim Çember

Bu konudan daha fazla soru