Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları f(3x - 1) = g(x^2 + 1) + x^2 - x\neşitliğini sağlamaktadır. g'(2) = 4 olduğuna göre, f'(2) değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f ve g fonksiyonları f(3x - 1) = … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir

f

g

fonksiyonları

f(3x - 1) = g(x^2 + 1) + x^2 - x

eşitliğini sağlamaktadır.

$g'(2) = 4$ olduğuna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

Cevap: 3

İstenen türev değeri 3 olarak bulunur.

Verilen eşitliğin her iki tarafının türevi alındığında zincir kuralı gereğince

3 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1

elde edilir.

f'(2)

değerine ulaşmak için

x = 1

yazıldığında

3 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1

bağıntısı oluşur.

g'(2) = 4

değeri yerine yazıldığında

3 \cdot f'(2) = 9

ve buradan

f'(2) = 3

sonucu bulunur.

Eşitliğin her iki tarafının

x

değişkenine göre türevi alınır.

3 \cdot f'(3x - 1) = 2x \cdot g'(x^2 + 1) + 2x - 1

Bileşke fonksiyon türev kuralları ve zincir kuralı gereği, içteki fonksiyonların türevleri çarpım olarak dışarıya yazılır.

f'(2)

değerini elde etmek için

x

yerine yazılması gereken değer bulunur.

3x - 1 = 2 \implies x = 1

Türev ifadesinde

f'

fonksiyonunun içinin 2 olması istenir.

Türev eşitliğinde

x = 1

yazılarak işlem tamamlanır.

3 \cdot f'(2) = 2 \cdot g'(2) + 1 \implies 3 \cdot f'(2) = 2 \cdot 4 + 1 = 9 \implies f'(2) = 3

g'(2) = 4

değeri yerine yazılarak bilinmeyen

f'(2)

değeri çekilir.

Bileşke fonksiyonların türevi alınırken zincir kuralı uygulanır:

(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)