Tanımlı olduğu aralıklarda türevlenebilir f ve g fonksiyonları için f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2 g(x) = \frac{x+1}{x-2} \neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, f'(2) değeri kaçtır?

Tanımlı olduğu aralıklarda türevlenebilir f ve g fonksiyonları için f(g(x)) = 3x^2 - 5x + … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanımlı olduğu aralıklarda türevlenebilir $f$ ve $g$ fonksiyonları için

f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2

g(x) = \frac{x+1}{x-2}

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, $f'(2)$ değeri kaçtır?

Cevap: -75

-75

Bileşke fonksiyonun türev kuralına göre,

[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

olur. Eşitliğin sağ tarafının türevi ise

6x - 5

olarak bulunur.

g(x) = 2

koşulunu sağlayan değer

x = 5

olduğundan, türev denkleminde

x = 5

yazıldığında

f'(2) \cdot g'(5) = 25

elde edilir. Bölümün türevi kuralıyla

g'(5) = -\frac{1}{3}

olarak hesaplanır. Buradan

f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75

sonucuna ulaşılır.

g(x) = 2

eşitliğini sağlayan

x

değerini bulmak.

x = 5

f'(2)

değerini elde etmek için bileşke fonksiyonun içindeki

g(x)

ifadesinin

2

olması gerekir.

\frac{x+1}{x-2} = 2 \implies x+1 = 2x-4 \implies x = 5

bulunur.

f(g(x)) = 3x^2 - 5x + 2

eşitliğinde her iki tarafın

x

değişkenine göre türevini almak.

f'(g(x)) \cdot g'(x) = 6x - 5

Bileşke fonksiyonun türev kuralı (zincir kuralı) gereğince sol tarafın türevi alınır.

g(x) = \frac{x+1}{x-2}

fonksiyonunun türevini alıp

x = 5

değerini yerine yazmak.

g'(5) = -\frac{1}{3}

Bölümün türevi kuralı uygulanır:

g'(x) = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+1) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}

. Buradan

g'(5) = \frac{-3}{(5-2)^2} = -\frac{1}{3}

elde edilir.

Türev denkleminde

x = 5

yazarak

f'(2)

değerini çekmek.

f'(2) = -75

f'(g(5)) \cdot g'(5) = 6(5) - 5 \implies f'(2) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 25 \implies f'(2) = -75

olarak bulunur.

Bileşke fonksiyonun türevi alınırken zincir kuralı uygulanır ve içteki fonksiyonun türeviyle çarpılması unutulmamalıdır.

Tahmini Süre:2m 0s